Apskatīt Nabla izejas kodu

'''Nabla''' jeb '''Hamiltona operators''' ir diferenciāls operators, ko lieto [[vektoru analīze|vektoru analīzē]]. To var pierakstīt kā formālu [[vektors|vektoru]]:
:<math>
  \vec{\nabla} = \biggl(
    \frac{\partial}{\partial x},
    \frac{\partial}{\partial y},
    \frac{\partial}{\partial z}
  \biggr),
</math>
kur <math>\partial/\partial x</math> apzīmē [[parciālais atvasinājums|parciālo atvasinājumu]] pēc mainīgā ''x''.

== Pielietojums ==
Operatoru nabla var izmantot, lai kompakti pierakstītu sarežģītas vektoru analīzes izteiksmes, kā arī atvieglotu darbības ar tām. Ar tā palīdzību var definēt citus svarīgus vektoru analīzes jēdzienus, piemēram, [[gradients]], [[diverģence]], [[rotors]], [[atvasinājums norādītajā virzienā]] un [[Laplasa operators]] jeb Laplasiāns. Šos jēdzienus plaši izmanto [[matemātiskā fizika|matemātiskajā fizikā]], [[hidrodinamika|hidrodinamikā]]<ref>[[Andrejs Cēbers]], [http://mhdonline.sal.lv/files/bibliography/1808093344_hidrod_lekc.pdf Teorētiskā hidrodinamika].</ref> un [[kvantu mehānika|kvantu mehānikā]].

=== Gradients ===
[[Skalārs lauks|Skalāra lauka]] ''ƒ''(''x'',''y'',''z'') [[gradients|gradientu]] var pierakstīt kā vektora <math style="vertical-align:0">\vec{\nabla}</math> un skalārās funkcijas ''ƒ'' formālu reizinājumu:
:<math>
  \mathrm{grad} \, f
  = \vec{\nabla} f
  = \biggl(
    \frac{\partial f}{\partial x},
    \frac{\partial f}{\partial y},
    \frac{\partial f}{\partial z}
  \biggr).
</math>

=== Diverģence ===
Ja <math>\vec{v}(x,y,z)</math> ir [[vektoru lauks]], kura komponentes apraksta skalāras funkcijas <math>v_x(x,y,z)\,</math>, <math>v_y(x,y,z)\,</math> un <math>v_z(x,y,z)\,</math>, tad šī lauka [[diverģence|diverģenci]] var pierakstīt kā vektoru <math style="vertical-align:0">\vec{\nabla}</math> un <math style="vertical-align:0">\vec{v}</math> formālu [[skalārais reizinājums|skalāro reizinājumu]]:
:<math>
  \mbox{div} \, \vec{v}
  = \vec{\nabla} \cdot \vec{v}
  = \frac{\partial v_x}{\partial x}
  + \frac{\partial v_y}{\partial y}
  + \frac{\partial v_z}{\partial z}.
</math>

=== Rotors ===
Vektoru lauka <math>\vec{v}(x,y,z)</math> [[rotors|rotoru]] var pierakstīt kā vektoru <math style="vertical-align:0">\vec{\nabla}</math> un <math style="vertical-align:0">\vec{v}</math> formālu [[vektoriālais reizinājums|vektoriālo reizinājumu]]:
:<math>
  \mbox{rot} \, \vec{v}
  = \vec{\nabla} \times \vec{v}
  = \biggl(
      \frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z},
      \frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x},
      \frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y}
    \biggr).
</math>

=== Atvasinājums norādītajā virzienā ===
[[Skalārs lauks|Skalāra lauka]] ''ƒ''(''x'',''y'',''z'') [[atvasinājums norādītajā virzienā|atvasinājumu]] vektora <math>\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)</math> virzienā aprēķina pēc formulas<ref>Vitolds Gedroics, [http://www.de.dau.lv/matematika/fun2/node19.html Atvasinājums norādītajā virzienā. Gradients] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071210140752/http://www.de.dau.lv/matematika/fun2/node19.html |date={{dat|2007|12|10||bez}} }}, lekciju materiāli, Daugavpils Universitāte.</ref>
:<math>
  \mbox{grad}_{\vec{a}} \, f
  = a_x \frac{\partial f}{\partial x}
  + a_y \frac{\partial f}{\partial y}
  + a_z \frac{\partial f}{\partial z}.
</math>
Ar operatora nabla palīdzību šo izteiksmi var pierakstīt divos ļoti līdzīgos veidos:
:<math>
  \mbox{grad}_{\vec{a}} \, f
  = (\vec{a} \cdot \vec{\nabla}) f
  = \vec{a} \cdot (\vec{\nabla} f).
</math>
Pirmajā gadījumā vispirms tiek aprēķināts vektoru <math style="vertical-align:0">\vec{a}</math> un <math style="vertical-align:0">\vec{\nabla}</math> formāls skalārais reizinājums un tad ar iegūto operatoru iedarbojas uz funkciju ''ƒ'', formāli sareizinot abus objektus kā skalārus lielumus. Otrajā gadījumā aprēķina vektora <math style="vertical-align:0">\vec{a}</math> formālu skalāro reizinājumu ar vektoru <math>\vec{\nabla} f</math>.

=== Laplasiāns ===
[[Laplasa operators]] ir skalārs operators, ko, līdzīgi operatoram nabla, var pielietot gan skalāriem, gan vektoru laukiem. To var definēt kā operatora nabla formālu [[skalārais reizinājums|skalāro reizinājumu]] pašam ar sevi:
:<math>
  \Delta
  = \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla}
  = \frac{\partial^2}{\partial x^2}
  + \frac{\partial^2}{\partial y^2}
  + \frac{\partial^2}{\partial z^2}.
</math>
Saīsināti šo sakarību mēdz pierakstīt arī šādi:
:<math>
  \Delta = \vec{\nabla}^2.
</math>

== Atšķirības no parasta vektora ==
Lielākoties ar operatoru nabla var darboties kā ar parastu vektoru, taču dažos gadījumos ir jābūt uzmanīgam.<ref>{{Citation | first = Chen-To | last = Tai | title = A survey of the improper use of ∇ in vector analysis | year = 1994 | url = http://hdl.handle.net/2027.42/7869}}.</ref> Piemēram, ja <math>\vec{v}(x,y,z)</math> ir vektoru lauks, tad tā skalārais reizinājums ar operatoru nabla nav [[komutativitāte|komutatīvs]]:
:<math>
  \vec{\nabla} \cdot \vec{v} \neq \vec{v} \cdot \vec{\nabla},
</math>
jo pirmā izteiksme ir vienāda ar lauka <math style="vertical-align:0">\vec{v}</math> diverģenci, taču otra izteiksme ir vienāda ar operatoru
:<math>
    v_x \frac{\partial}{\partial x}
  + v_y \frac{\partial}{\partial y}
  + v_z \frac{\partial}{\partial z},
</math>
kas aprēķina [[lineāra kombinācija|lineāru kombināciju]] no [[atvasinājums|atvasinājumiem]].

== Skatīt arī ==
* [[Gradients]]
* [[Laplasa operators]]
* [[Maksvela vienādojumi]]

== Atsauces ==
{{Atsauces}}

== Papildu literatūra ==
* {{Citation | first = Harry Moritz | last = Schey | title = Div, grad, curl, and all that: an informal text on vector calculus | edition = 4 | publisher = W.W. Norton | year = 2005 | isbn = 978-0-39-392516-6}}.

== Ārējās saites ==
* {{MathWorld|Nabla}}
* [http://planetmath.org/encyclopedia/NablaNabla.html Nabla] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100620064522/http://planetmath.org/encyclopedia/NablaNabla.html |date={{dat|2010|06|20||bez}} }}, PlanetMath.

[[Kategorija:Matemātiskā analīze]]