Apskatīt Nevienādība starp aritmētisko vidējo un ģeometrisko vidējo izejas kodu

'''Nevienādība starp [[aritmētiskais vidējais|aritmētisko vidējo]] un [[ģeometriskais vidējais|ģeometrisko vidējo]]''' ir [[nevienādība]], kas apgalvo, ka nenegatīvu [[reāli skaitļi|reālu skaitļu]] <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math> aritmētiskais vidējais vienmēr ir lielāks vai vienāds ar šo skaitļu ģeometrisko vidējo:

: <math>\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n}.</math>

Vienādība izpildās tikai gadījumā, kad visi skaitļi ir vienādi.

Aplūkojot dažādus šīs nevienādības speciālgadījumus var iegūt:

* diviem skaitļiem <math>\frac{x+y}2 \ge \sqrt{xy}</math>;
* trim skaitļiem <math>\frac{x+y+z}3 \ge \sqrt[3]{xyz}</math>;
* ja aplūko šo nevienādību skaitļiem <math>x</math> un <math>\frac{1}x</math>, var iegūt, ka <math>x + \frac{1}x \ge 2</math> — pozitīva skaitļa un tam apgrieztā skaitļa summa vienmēr ir lielāka vai vienāda ar 2.

Šai nevienādībai eksistē dažādi vispārinājumi, kā [[Muirheda nevienādība]] vai [[Maklorina nevienādība]], tāpat šī nevienādība ir spēkā, ja izmanto svērto aritmētisko vidējo un svērto ģeometrisko vidējo.

Dažreiz šai nevienādībai pievieno [[harmoniskais vidējais|harmonisko vidējo]], kas vienmēr ir mazāks vai vienāds ar ģeometrisko vidējo, līdz ar to var iegūt, ka:

: <math>\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n} \ge \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n}}.</math>

== Ārējās saites ==
* [https://www.nms.lu.lv/fileadmin/user_upload/lu_portal/projekti/nms.lu.lv/Teorija/Olimpiazu/vidA_vidG_2017.pdf Nevienādību pierādīšana – nevienādība starp vidējo aritmētisko un vidējo ģeometrisko]

{{Matemātika-aizmetnis}}

[[Kategorija:Matemātika]]
[[Kategorija:Matemātikas teorēmas]]