Apskatīt Plakne izejas kodu

[[Attēls:Intersecting planes.svg|thumb|Divas šķeļošas plaknes trīsdimensionālā telpā]]
'''Plakne''' ir [[virsma]], kas satur katru [[taisne|taisni]], kura savieno jebkurus divus tās [[Punkts (ģeometrija)|punktus]]. Plakne ir viens no trim [[ģeometrija]]s nedefinējamiem pamatobjektiem, kuru īpašības tiek netieši aprakstītas ar ģeometrijas [[aksioma|aksiomām]].<br />
Plakne ir divdimensionāls analogs punktam (kam ir nulle dimensijas), taisnei (kam ir viena dimensija) un [[telpa]]i (kam ir trīs dimensijas).<br />
Plakne ir svarīgs ģeometrijas jēdziens, jo tā ļauj definēt daudzus citus ģeometriskus objektus, piemēram, [[Dekarta koordinātu sistēma|Dekarta koordinātu sistēmu]] un plaknes figūras - [[trijstūris|trijstūri]], [[četrstūris|četrstūri]], [[riņķis|riņķi]], utt.<br />
Ģeometrijas nozari, kas pētī figūru un konfigurāciju īpašības plaknē, sauc par '''[[planimetrija|planimetriju]]'''.

== Plaknes vienādojums ==

Eiklīda telpā <math>\mathbb{R}^3</math> plakni apraksta vispārīga veida lineārs [[vienādojums]]<br />
:<math>ax + by + cz + d = 0</math>
kur ''a'', ''b'', ''c'' un ''d'' ir [[reāls skaitlis|reāli skaitļi]], turklāt vismaz viens no skaitļiem ''a'', ''b'', ''c'' nav vienāds ar [[nulle|nulli]]. Vektors <math>\vec n = (a, b, c) </math> ir šīs plaknes normālvektors. Tas nozīmē, ka [[vektors]] ar šādām koordinātām ir perpendikulārs plaknei ar augstākminēto vienādojumu.

=== Plaknes definīcija ar punktu un normālvektoru ===

Trīsdimensiju telpā svarīgs veids, kā definēt plakni ir norādot plaknes punktu un plaknes normālvektoru.

Pieņemsim, ka <math>\mathbf r_0</math> ir rādiusvektors kādam punktam <math>P_0</math> plaknē, un '''n''' ir nenulles vektors, kas perpendikulārs plaknei. Ideja ir tāda, ka punkts '''P''' ar rādiusvektoru '''r''' atrodas plaknē tad un tikai tad, kad vektors, kas vilkts no <math>P_0</math> uz ''P'' ir perpendikulārs '''n'''. Izmantojot to, ka divi vektori ir perpendikulāri tad un tikai tad, kad to reizinājums ir nulle, iegūsim, ka meklētā plakne var tikt izteikta kā kopa no visiem punktiem '''r''' tādiem, ka

:<math>\mathbf n \cdot (\mathbf r - \mathbf r_0)=0.</math>

(punkts apzīmē parasto reizināšanu, nevis skalāro reizināšanu).
To izvēršot, iegūsim

:<math> n_x (x-x_0)+ n_y(y-y_0)+ n_z(z-z_0)=0,\,</math>

kas ir jau zināmais plaknes vienādojums.

== Īpašības ==

* Caur jebkuriem diviem plaknes punktiem var novilkt tieši vienu taisni, jebkurš šīs taisnes punkts pieder plaknei;
* Caur jebkuriem trīs telpas punktiem (kas neatrodas uz vienas taisnes) var novilkt tieši vienu plakni;
* Divu nesakrītošu plakņu šķēlums ir taisne.

== Attālums no punkta līdz plaknei ==

Plaknei <math>ax + by + cz + d = 0\,</math> un punktam <math>\mathbf p_0 = (x_0, y_0, z_0)</math>, kas ne obligāti atrodas plaknē, īsākais attālums no <math>\mathbf p_0</math> līdz plaknei ir vienāds ar

:<math>D = \frac{\left | ax_0 + by_0 + cz_0+d \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.</math>

No tā seko, ka <math>\mathbf p_0</math> atrodas plaknē tad un tikai tad, kad <math>D=0</math>.<br />
Ja <math>\sqrt{a^2+b^2+c^2}=1</math>, kas nozīmē, ka ''a'', ''b'', un ''c'' ir normalizēti, tad formula kļūst vienkāršāka:
:<math>D = | ax_0 + by_0 + cz_0+d |\,.</math>

== Vispārinājums ==

Plaknes vispārinājumu lielāka skaita dimensiju telpā sauc par [[hiperplakne|hiperplakni]].

== Skatīt arī ==

* [[Pusplakne]]
* [[Punkts (ģeometrija)|Punkts]]
* [[Taisne]]
* [[Telpa]]
* [[Hiperplakne]]
* [[Planārs grafs]]

[[Kategorija:Ģeometrija]]
[[Kategorija:Dimensijas]]