Apskatīt Polārā koordinātu sistēma izejas kodu

[[Attēls:Polar graph paper.svg|thumb|200px|Polārās koordinātas, kurās norādīti dažu leņķu lielumi.]]

'''Polārā koordinātu sistēma''' ir divdimensiju [[koordinātu sistēma]], kur katra [[punkts (ģeometrija)|punkta]] atrašanās vietu [[plakne|plaknē]] nosaka [[leņķis|leņķa]] (''φ'' vai ''θ'') lielums un [[attālums]] (''r'') no sākumpunkta. Polārā koordinātu sistēma ir noderīga situācijās, kad attiecība starp divām vietām ir viegli nosakāma ar leņķu un attālumu palīdzību. Atšķirībā no daudz biežāk izmantotās [[Dekarta koordinātu sistēma]]s, šajā koordinātu sistēmā ir jāizmanto [[trigonometrija]].

== Vēsture ==
Leņķa un rādiusa jēdzienu izmantoja senie ļaudis pirmajā tūkstošgadē pirms mūsu ēras. Grieķu astronoms un astrologs ''[[Hiparhs|Hipparchus]]'' (190 - 120 BC) izveidoja tabulu par [[Horda (matemātika)|hordu funkcijām]], sniedzot hordu garumu katram leņķim. Ir atsauces par to, ka viņa izveidotā tabula ir izmantota izveidojot zvaigznāju pozīciju.<ref>{{Tīmekļa atsauce|url=http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/milestone.pdf|title=Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization|last=Friendly|first=Michael|access-date=|date=August 24, 2009|archive-date={{dat|2018|09|26||bez}}|archive-url=https://web.archive.org/web/20180926124138/http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/milestone/milestone.pdf}}</ref> Rakstā "''On Spirals''"  [[Arhimēds]] apraksta Arhimēda spirāli, [[funkcija]], kuras rādiuss ir atkarīgs no leņķa. Tomēr Grieķu darbs neattiecās uz pilnīgu [[Koordinātu sistēma|koordinātu sistēmu]]. No 8. gadsimta astronomi izstrādāja metodes, lai tuvināti aprēķinātu virzienu uz [[Meka|Meku]] un attālumu no jebkuras vietas uz [[Zeme]]s.<ref>{{Grāmatas atsauce|title=Mathematics and the Divine: A Historical Study|last=King|first=David A.|publisher=Elsevier|year=2005|isbn=0-444-50328-5|url=https://books.google.com/books?id=AMOQZfrZq-EC&pg=PA161#v=onepage&f=false|location=Amsterdam|pages=162–178}}</ref>

No 9. gadsimta tika izmantota sfēriskā [[trigonometrija]] un karšu projekciju metodes, lai precīzāk noteiktu šos lielumus. Aprēķins būtībā ir Mekas ekvatoriskās polārās koordinātas (t.i. garuma un platuma) pārvēršana polārajās koordinātās (t.i. ''[[kibla|qibla]]'' un attālums) attiecībā pret sistēmu, kuras  meridiāns ir lielais aplis caur noteikto vietu un Zemes [[ģeogrāfiskais pols|poliem]], un polāro līniju asis iet caur atrašanās vietu un tās pretējo polu punktu.<ref>King ([[:en:Polar coordinate system#CITEREFKing2005|2005]], [https://books.google.com/books?id=AMOQZfrZq-EC&pg=PA169#v=onepage&f=false p. 169]). The calculations were as accurate as could be achieved under the limitations imposed by their assumption that the Earth was a perfect sphere.</ref>

Pastāv aprēķini par polāro koordinātu ieviešanu kā daļu no formālās koordinātu sistēmas. Pilnu priekšmeta vēsturi apraksta [[Hārvarda Universitāte|Hārvardas]] profesors ''Julian Lowell Coolidge's'' "Polāro koordinātu izcelsme".<ref name="coolidge">{{publikācijas atsauce|last=Coolidge|first=Julian|authorlink=Julian Lowell Coolidge|title=The Origin of Polar Coordinates|journal=American Mathematical Monthly|volume=59|pages=78–85|year=1952|url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Extras/Coolidge_Polars.html|doi=10.2307/2307104|issue=2|publisher=Mathematical Association of America|jstor=2307104}}</ref> ''Grégoire de Saint-Vincent'' un ''[[Bonaventūra Kavaljēri|Bonaventura Cavalieri]]'' 17. gadsimta vidū patstāvīgi ieviesa jēdzienus. ''Saint - Vincent'' rakstīja par viņiem privāti 1625. gadā un publicēja savu darbu 1647. gadā, kamēr ''[[Bonaventūra Kavaljēri|Cavalieri]]'' publicēja labotu viņa versiju - 1635. gadā. ''[[Bonaventūra Kavaljēri|Cavalieri]]'' pirmie lietoja polārās koordinātas, lai atrisinātu problēmu, kas bija par Arhimēda spirāli. [[Blēzs Paskāls]] izmantoja polārās koordinātas, lai aprēķinātu parabolisko loku garumu.

Ar metodi ''Fluxions'' (uzrakstīta 1671. gadā un publicēta 1736. gadā) [[Īzaks Ņūtons]] pārbaudīja transoformāciju starp polārajām koordinātām, ko viņš dēvē par "Septītā veida; Par spirāli", un deviņas citas koordinātu sistēmas.<ref>{{publikācijas atsauce|last=Boyer|first=C. B.|title=Newton as an Originator of Polar Coordinates|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1949-02_56_2/page/73|journal=American Mathematical Monthly|volume=56|pages=73–78|year=1949|doi=10.2307/2306162|issue=2|publisher=Mathematical Association of America|jstor=2306162}}</ref>  Žurnālā "''Acta Eruditorum''" (1691) [[Jākobs Bernulli]] izmantoja sistēmu ar punktu uz līnijas, ko dēvē par polu un polāro asi. Koordinātas norādīja attālumus no pola un leņķa, un no polārām asīm. Bernulli darbs tika pagarināts, lai atrastu  līkņu izliekuma rādiusu, kas izteikts šajās koordinātās.

Polāro koordinātu termins ir attiecināms uz ''Gregorio Fontana'' un to izmantoja 18. gadsimta Itāļu rakstnieki. Termins parādījās angļu  ''George Peacook's'' 1816 tulkojumā ''Lacroix's'' "Diferenciālais un integrālais aprēķins".<ref>{{tīmekļa atsauce|last=Miller|first=Jeff|title=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics|url=http://jeff560.tripod.com/p.html|accessdate=2006-09-10}}</ref><ref>{{grāmatas atsauce|last=Smith|first=David Eugene|title=History of Mathematics, Vol II|publisher=Ginn and Co.|year=1925|location=Boston|page=324}}</ref> ''[[Aleksis Klero]]'' bija pirmais, kas domāja par polārajām koordinātām 3 dimensijās, un [[Leonards Eilers]] bija pirmais, kurš to attīstīja.<ref name="coolidge" />

== Koordinātu apzīmēšana ==
Radiālo koordinātu bieži apzīmē ar r vai ρ, un leņķisko koordinātu ar φ, θ vai t. Leņķiskās koordinātas tiek norādītas kā φ pēc [[Starptautiskā standartizācijas organizācija|ISO]] standarta 31-11. Tomēr matemātiskajā literatūrā [[Leņķis|leņķi]] bieži apzīmē ar θ, nevis φ. Leņķi ar polāro apzīmējumu parasti var izteikt vai nu [[Grāds (leņķis)|grādos]] vai [[Radiāns|radiānos]] (2π rad ir vienāds ar 360°). [[Grāds (leņķis)|Grādi]] tradicionāli lieto navigācijā, mērīšanā, un daudzās lietišķajās disciplīnās, bet [[Radiāns|radiānus]] ir biežāk izmanto matemātikā un matemātiskajā fizikā.<ref>{{grāmatas atsauce|last=Serway|first=Raymond A.|author2=Jewett, Jr., John W.|title=Principles of Physics|publisher=Brooks/Cole—Thomson Learning|year=2005|isbn=0-534-49143-X}}</ref>

Leņķis φ ir definēts, lai sāktu 0° no atskaites virziena un palielinātu rotācijas režīmu pretēji pulksteņrādītāja virzienam vai pulksteņrādītāja virzienam. Matemātikā, piemēram, atskaites virziens parasti tiek nofiksēts kā [[stars]] no pola horizontāli pa labi, un polāro leņķi palielina līdz pozitīvam leņķim attiecībā uz pretējo pulksteņrādītāja apgriezieniem, savukārt  0° -  virsma tiek veidota vertikāli uz augšu un leņķa palielinājums par pulksteņrādītāja apgriezieniem. Polāri leņķi samazinās pret negatīvām vērtībām rotācijas virzienā attiecīgi pretējos virzienos.

== Polāro koordinātu unikalitāte ==
Jebkura skaita pilnīgu pagriezienu (360°) pievienošana leņķa koordinātei nemaina attiecīgo virzienu. Tāpat jebkuras polārās koordinātu koordinātes ir identiskas ar negatīvo radiālo komponentu un pretējo virzienu (pie polārā leņķa pievienojot 180°). Tāpēc vienu un to pašu punktu (r, φ) var izteikt ar bezgalīgu skaitu dažādu polāro koordinātu

{{nowrap|(''r'', ''φ'' + ''n'' × 360°)}} un {{nowrap|(−''r'', ''φ'' + 180° + ''n'' × 360°) {{=}} (−''r'', ''φ'' + (2''n'' + 1) × 180°)}}, kur n ir patvaļīgs vesels skaitlis.<ref>{{tīmekļa atsauce|url=http://campuses.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2012%5Cteacher_20120507_1147.pdf|title=Polar Coordinates and Graphing|accessdate=2006-09-22|date=2006-04-13|format=PDF|archive-date=2016-08-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20160822034840/http://campuses.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2012%5Cteacher_20120507_1147.pdf}}</ref> Turklāt, polus var izteikt kā (0,&nbsp;''φ'') jebkuram leņķim ''φ.<ref>{{grāmatas atsauce|title=Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry|last=Lee|first=Theodore|author2=David Cohen|author3=David Sklar|year=2005|publisher=Thomson Brooks/Cole|edition=Fourth|isbn=0-534-40230-5}}</ref>''

Ja vienam punktam, izņemot polam, ir nepieciešams unikāls attēlojums, tad r ir jāierobežo ar pozitīviem skaitļiem (r > 0) un φ  intervālu [0, 360°) vai (-180 °, 180°] (radiānos, [0, 2 π) vai (- π,  π]).<ref>{{grāmatas atsauce|title=Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane)|url=https://archive.org/details/complexanalysish0000stew|first=Ian|last=Stewart|author2=David Tall|year=1983|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-28763-4}}</ref>  Vēl viena konvencija, ir pret inverso funkciju, ir atļautas patvaļīgas reālas vērtības un ierobežojums, kas  ierobežo polāro leņķi līdz (-90°,  90°). Visos gadījumos ir jāizvēlas polu leņķis (r = 0), piemēram, φ  = 0.

== Pāreja uz taisnleņķa koordinātām (un atpakaļ) ==
[[Attēls:Polar to cartesian.svg|right|thumb|250px|Saistība starp polārajām un Dekarta koordinātām]]
Pāreja no polārajām koordinātām uz taisnleņķa koordinātām:
:<math>x = r \cos \theta, \,</math> 
:<math>y = r \sin \theta. \,</math>

Pāreja no taisnleņķa koordinātām uz polārajām koordinātām ir neviennozīmīgāka, jo ja ''r''=0, punkta koordinātas nav atkarīgas no leņķa ''θ'' (koordinātu sākumpunktā). Vēl, leņķis var pieņemt jebkādu vērtību, taču punkta atrašanās vieta ik pēc 2''π'' atkārtojas.
:Attālumu ''r'' var iegūt pēc [[Pitagora teorēma]]s: r<sup>2</sup> = x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>, <math>r = \sqrt{x^2 + y^2} \quad</math>
:Ja leņķis ''θ'' ir definēts intervālā [0, 2''π''], tad:
:<math>\theta = 
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x})        & \mbox{ja } x > 0 \mbox{ un } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + 2\pi & \mbox{ja } x > 0 \mbox{ un } y < 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi  & \mbox{ja } x < 0\\
\frac{\pi}{2}               & \mbox{ja } x = 0 \mbox{ un } y > 0\\
\frac{3\pi}{2}              & \mbox{ja } x = 0 \mbox{ un } y < 0
\end{cases}</math>
:Ja leņķis ''θ'' ir definēts intervālā [−''π'', ''π''], tad:
:<math>\theta = 
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{ja } x > 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{ja } x < 0 \mbox{ un } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{ja } x < 0 \mbox{ un } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{ja } x = 0 \mbox{ un } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{ja } x = 0 \mbox{ un } y < 0
\end{cases}</math>
:Ja r tiek aprēķināts vispirms, tad šo formulu φ var norādīt vienkāršāk, izmantojot standarta arccos funkciju:<math>\varphi = \begin{cases}
   \arccos\left(\frac{x}{r}\right) & \mbox{ja } y \ge 0 \mbox{ un } r \neq 0 \\
  -\arccos\left(\frac{x}{r}\right) & \mbox{ja } y < 0 \\
   \text{nav definēts}                & \mbox{ja } r = 0
\end{cases}</math>

== Polārās līknes vienādojums ==
[[Attēls:Cartesian to polar.gif|thumb|Dekarta vienības līkne var tikt novietota polāro koordinātu veidā. Šajā animācijā <math>{\displaystyle y=\sin(6x)+2}  </math> ir piesaistīta uz '''<math>r = \sin (6 \varphi) + 2</math>''']]
Vienādojums, kas definē algebrisko līkni, kas izteikts polāro koordinātu veidā, ir pazīstams kā polārais vienādojums. Daudzos gadījumos šādu vienādojumu var vienkārši norādīt, definējot r kā funkciju no ''φ.'' Iegūtā līkne sastāv no punktiem (''r''(''φ''),&nbsp;''φ'') un to var uzskatīt par polāro funkciju r grafiku. Jāņem vērā, ka atšķirībā no Dekarta koordinātēm neatkarīgais mainīgais ''φ.''

Dažādus simetrijas veidus var izsecināt no polāro funkciju r vienādojuma. Ja {{nowrap|''r''(−''φ'') {{=}} ''r''(''φ'')}} vienādojums būs simetrisks pret horizontālo (0°/180°) staru, ja {{nowrap|''r''({{pi}} − ''φ'') {{=}} ''r''(''φ'')}} tas būs simetrisks vertikālajā (90°/270°) starā un, ja {{nowrap|''r''(''φ'' − α) {{=}} ''r''(''φ'')}}, tas būtu rotējoši simetrisks ar α pulksteņrādītāja virzienā un pretēji pulksteņrādītāja kustības virzienam.
[[Attēls:Circle r=1.svg|thumb|Aplis ar vienādojumu r(φ) = 1]]
Ņemot vērā polāro koordinātu sistēmas cirkulāro raksturu, daudzas līknes var raksturot ar vienkāršu polāro vienādojumu, savukārt Dekarta formas ir daudz sarežģītākas. Starp pazīstamākajām līknēm ir polārā roze, Arhimēda spirāle, kardioīda, ''Lemniscate of Bernoulli'' un ''limacon''.

Aplis, līnijas un polārā roze ir saprotamākas, ja nav ierobežojumu līknes domēnam un diapazonam.

=== Aplis ===
Vispārējais vienādojums riņķim ar centru {{nowrap|(''r''<sub>0</sub>, <math>\gamma</math>)}} un rādiusu a  ir<math>r^2 - 2 r r_0 \cos(\varphi - \gamma) + r_0^2 = a^2</math>To var vienkāršot dažādos veidos, lai atbilstu konkrētākiem gadījumiem, piemēram vienādojumu <math>r(\varphi)=a </math>riņķim ar centru un rādiusu a.<ref name="ping">{{tīmekļa atsauce|first=Johan|last=Claeys|url=http://www.ping.be/~ping1339/polar.htm|title=Polar coordinates|accessdate=2006-05-25|deadurl=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20060427230725/http://www.ping.be/~ping1339/polar.htm|archivedate=2006-04-27|df=}}</ref> Kad {{math|''r''}}<sub>0</sub> = {{math|a}}, vienādojumu var rakstīt formā: <math>r = 2 a\cos(\varphi - \gamma)</math>Vispārīgā gadījumā vienādojumu var atrisināt: <math>r = r_0 \cos(\varphi - \gamma) + \sqrt{a^2 - r_0^2 \sin^2(\varphi - \gamma)}</math>risinājums ar mīnusa zīmi priekša [[kvadrātsakne]]i dod tādu pašu līkni.

=== Līnija ===
Radiālas līnijas (tās, kas stiepjas pa polu) ir apzīmētas ar vienādojumu
[[Attēls:Rose 2sin(4theta).svg|thumb|Polāra roze ar vienādojumu r(φ) = 2sin(4φ)]]
<math>\varphi = \gamma </math>,

kur  ɣ ir līnijas pacēluma leņķis, tas ir,  ɣ= arctan(m), kur m ir līnijas slīpums Dekarta koordinātu sistēmā. Ne radiāla līnija, kas šķērso radiālo līniju {{nowrap|''φ'' {{=}} ɣ}} perpendikulāri punktā (''r<sub>0</sub>'', ɣ) un tam ir vienādojums: <math>r(\varphi) = {r_0}\sec(\varphi-\gamma) </math>

Citādi norādīts (''r<sub>0</sub>'', ɣ) punkts, kurā pieskaršanas šķērso iedomātu apli ar rādiusu ''r<sub>0.</sub>''

=== Polārā roze ===
Polārā roze ir matemātiska līkne, kas izskatās kā ziedlapots zieds, un to var izteikt kā vienkāršu polāro vienādojumu:<math>r(\varphi) = a\cos\left(k\varphi + \gamma_0\right)</math>par jebkuru konstantu ɣ<sub>0</sub> (ieskaitot 0).  Jāņem vērā, ka šie vienādojumi nekad nenosaka rožu ar 2, 6, 10, 14 utt. ziedlapiņu skaitu. Mainīgais apzīmē garumu ziedlapiņām rožu.

=== Arhimēda spirāle ===
[[Arhimēda spirāle]] ir spirālveida līkne, ko atklāja [[Arhimēds]], un to var izteikt kā vienkāršu polāro vienādojumu:

<math>r(\varphi) = a+b\varphi. </math>
[[Attēls:Spiral of Archimedes.svg|thumb|Viens Arhimēda spirāles zars ar vienādojumu r(φ) = φ/2π, kas ir 0<φ<6π]]
Parametra a maiņa pagriež spirāli, bet b nosaka attālumu starp spirāles vijumiem, kas noteiktai spirālei vienmēr ir nemainīgs. Arhimēda spirālei ir divi zari, viens - φ > 0 un viens - φ <0. Abi zari ir plūdeni savienoti pie pola. Ņemot viena zara spoguļattēlu 90°/270° līnijas virzienā, iegūst otru zaru. Šī līkne ir ievērojama kā viena no pirmajām līknēm, pēc [[konusa šķēlums|konusa šķēlumiem]], kas aprakstīta matemātiskā traktātā, un kā galvenais līknes, ko vislabāk definēt ar polāro vienādojumu, piemērs.

=== Konisks posms ===
Konusa šķēlums ar vienu fokusu uz polu un otrs kaut kur uz 0° stara (tā, loki ir lielās ass, atrodas gar polāro asi), aprēķina pēc formulas:

<math>r = { \ell\over {1 - e \cos \varphi}}</math>,

kur e ir ekscentriskums,

<math>\ell</math>ir ''semi-latus rectum'' (perpendikulārais attālums no galvenās ass līdz līknei).
[[Attēls:Elps-slr.svg|thumb|Elipse]]
Ja e > 1 , šis vienādojums definē hiperbolu,

ja e = 1 , tas definē parabolu un,

ja e <1 , tas definē elipsi.

Īpašais gadījums e = 0  rādiusa aplis.

== Divu polāru līkņu krustojums ==
Divu polāro funkciju grafiki <math>{\displaystyle r=f(\theta )}</math> un <math>{\displaystyle r=g(\theta )}  </math>ir iespējami trīs veidu krustojumi:

# Ja vienādojumiem  <math>{\displaystyle r=f(\theta )}</math> un <math>{\displaystyle r=g(\theta )}  </math>katram vismaz ir viens risinājums.
# Visi punkti <math>{\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}  </math>, kur <math>{\displaystyle \theta _{i}}  
</math>ir vienādojuma atrisinājums <math>{\displaystyle f(\theta +2k\pi )=g(\theta )}  </math>un, kur <math>{\displaystyle k}  </math>ir vesels skaitlis.
# Visi punkti <math>{\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}  </math>, kur <math>{\displaystyle \theta _{i}}  
</math>ir vienādojuma atrisinājums <math>{\displaystyle f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )}  </math>un, kur <math>{\displaystyle k}  </math> ir vesels skaitlis.

== Kompleksie skaitļi ==
[[Attēls:Imaginarynumber2.svg|thumb|Kompleksā plaknē uzzīmēta skaitļu z  ilustrācija.]]
Katru kompleksu skaitli var attēlot kā punktu kompleksa plaknē, un tāpēc to var izteikt, norādot vai nu punktus, kas ir Dekarta koordinātas (ko sauc par taisnstūrveida vai Dekarta formu), vai arī punktveida polāro koordinātu (sauktas par polāro formu). Kompleksa skaitli z var attēlot taisnstūra formā kā

<math>{\displaystyle z=x+iy}  </math>,

kur i ir [[imaginārā vienība]], vai alternatīvi var tikt rakstīts polārā veidā (caur pārveidošanas formulām kas dotas iepriekš), kā

<math>{\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}  </math>

un var izteikt ka:

<math>{\displaystyle z=re^{i\varphi }}  </math>

kur e ir [[E (matemātiska konstante)|Eilera skaitlis]] , kas ir līdzvērtīgs, kā parādīts [[Eilera formula|Eilera formulā]].<ref>{{grāmatas atsauce|last=Smith|first=Julius O.|title=Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT)|accessdate=2006-09-22|year=2003|publisher=W3K Publishing|isbn=0-9745607-0-7|chapter=Euler's Identity|chapterurl=http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/mdft/Euler_s_Identity.html|deadurl=yes|archiveurl=https://web.archive.org/web/20060915004724/http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/mdft/Euler_s_Identity.html|archivedate=2006-09-15|df=}}</ref>
[[Attēls:Euler's formula.svg|alt=|left|thumb|Komplekso skaitļu plakne, izmantojot Eilera formulu]]
(Ievērojot, ka šī formula, tāpat kā visi, kas saistīti ar leņķu eksponenciāliem elementiem, pieļauj, ka leņķis φ ir izteikts radiānos.) Lai varētu pārveidot no kompleksa skaitļa taisnstūra un polārās formas, var izmantot iepriekš norādītās konversijas formulas.

Par darbību reizināšanu, dalīšanu un kāpināšanu ar kompleksu skaitļu, tad parasti ir daudz vienkāršāk strādāt ar kompleksiem skaitļiem izsakot polārā veidā, nevis taisnstūra formā. No likumiem:

'''Reizināšana:'''

<math>{\displaystyle r_{0}e^{i\varphi _{0}}\,r_{1}e^{i\varphi _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i\left(\varphi _{0}+\varphi _{1}\right)}}  </math>

'''Dalīšana:'''

<math>{\displaystyle {\frac {r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{r_{1}e^{i\varphi _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}}  </math>

'''Kāpināšana (De Moivre's formula)'''

<math>{\displaystyle \left(re^{i\varphi }\right)^{n}=r^{n}e^{in\varphi }}  </math>

== Aprēķins ==
Aprēķinus var izmantot vienādojumiem, kas izteikti polāro koordinātu veidā.<ref>{{tīmekļa atsauce|url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/5/polar.1/index.html|title=Areas Bounded by Polar Curves|author=Husch, Lawrence S.|accessdate=2006-11-25|archive-date=2000-03-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20000301151724/http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/5/polar.1/index.html}}</ref><ref>{{tīmekļa atsauce|url=http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/polar.1/index.html|title=Tangent Lines to Polar Graphs|author=Lawrence S. Husch|accessdate=2006-11-25|archive-date=2019-11-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20191121222301/http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/polar.1/index.html}}</ref>

Leņķiskās koordinātas φ izteiktas radiānos, kas ir piemērotākā izvēle veicot aprēķinus.

=== Diferenciāļa aprēķins ===
Izmantojot {{nowrap|''x'' {{=}} ''r'' cos ''φ''}} un {{nowrap|''y'' {{=}} ''r'' sin ''φ''}}, var iegūt attiecību starp atvasinājumiem Dekarta un polāro koordinātu veidā. Par noteiktu funkciju, ''u''(''x'',''y''), no tā izriet, ka: (aprēķina kopējo atvasinājumu summu)

<math>{\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {\partial u}{\partial r}}&=r{\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial r}}+r{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial r}},\\[2pt]{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}&={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varphi }},\end{aligned}}}  
</math>

vai

<math>{\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {\partial u}{\partial r}}&=r{\frac {\partial u}{\partial x}}\cos \varphi +r{\frac {\partial u}{\partial y}}\sin \varphi =x{\frac {\partial u}{\partial x}}+y{\frac {\partial u}{\partial y}},\\[2pt]{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}r\sin \varphi +{\frac {\partial u}{\partial y}}r\cos \varphi =-y{\frac {\partial u}{\partial x}}+x{\frac {\partial u}{\partial y}}\end{aligned}}}  </math>

Tāpēc var iegūt šādas formulas:

<math>{\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {\partial }{\partial r}}&=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial \varphi }}&=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}\end{aligned}}}  </math>

Izmantojot apgriezto koordinātu transformāciju, starp atvasinājumiem var iegūt analoģisku savstarpēju attiecību. Ņemot vērā funkciju ''u''(''r'',''φ''), no tā izriet, ka:

<math>{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\\[2pt]{\frac {\partial u}{\partial y}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\end{aligned}}}  </math>

vai

<math>{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }},\\[2pt]{\frac {\partial u}{\partial y}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}\end{aligned}}}    </math>

Tāpēc var iegūt šādas formulas:

<math>{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}&=\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial y}}&=\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\end{aligned}}}    </math>

Lai noteiktu pieskares līniju Dekarta slīpumu pret polāro līkni ''r''(''φ)'' jebkurā konkrētā punktā, līkni vispirms izsaka kā parametrisko vienādojumu sistēmu:

<math>{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\varphi )\cos \varphi \\y&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}    </math>

Diferencē abas vienādojuma puses attiecībā pret ''φ:''

<math>{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \\[2pt]{\frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi \end{aligned}}}    </math>

Otro vienādojumu izdalot ar pirmo iegūst pieskares līnijas Dekarta slīpuma punktā {{nowrap|(''r''(''φ''),&nbsp;''φ'')}}:

<math>{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}}    </math>

=== Integrālais aprēķins (loka garums) ===
Loka garums (līnijas segmenta garums), ko definē polārā funkcija, tiek noteikts ar integrāciju r (φ).  L apzīmē šo loka garumu, sākot no punktiem A līdz punktam B, kur šiem punktiem atbilst φ = a un φ = b tā, ka 0 < b - a <2 π. L [[garums]] tiek aprēķināts ar šādu [[Integrālis|integrāli]]:

<math>L = \int_a^b \sqrt{ \left[r(\varphi)\right]^2 + \left[ {\tfrac{dr(\varphi) }{ d\varphi }} \right] ^2 } d\varphi</math>

=== Integrālais aprēķins (apgabals) ===
[[Attēls:Polar coordinates integration region.svg|thumb|Integrācijas apgabals R, ko ierobežo līkne r(φ), un stari  φ = a un φ = b]]
Apzīmē R apgabalu, ko ierobežo līkne r(φ) un stari φ = a un φ = b, kur {{nowrap|0 < ''b'' − ''a'' ≤ 2{{pi}}}}. Tad R apgabalu var aprēķināt: <math>\frac12\int_a^b \left[r(\varphi)\right]^2\, d\varphi</math>Šo rezultātu var atrast šādi:
[[Attēls:Polar coordinates integration Riemann sum.svg|thumb|Apgabals R ir sadalīts n sektoros (šajā gadījumā n = 5)]]
Pirmkārt, intervāls [a,b] tiek sadalīts n daļās, kur n ir patvaļīgs pozitīvs [[vesels skaitlis]]. Tādēļ Δ''φ,'' katrs daļas garums ir vienās ar {{nowrap|''b'' − ''a''}} (kopējais intervāla garums), dala ar n. Katrai daļai ''i'' = 1, 2, …, ''n'', piekārto ''φ<sub>i,</sub>'' lai būtu apakš intervāli viduspunktiem un tiktu veidoti sektori ar centru, rādiusu ''r''(''φ<sub>i</sub>''), centrālo leņķi Δ''φ'' un loka garumu ''r''(''φ<sub>i</sub>'')Δ''φ''. Tāpēc katra sektora apgabals ir vienāds ar:

<math>\left[r(\varphi_i)\right]^2 \pi \cdot \frac{\Delta \varphi}{2\pi} = \frac{1}{2}\left[r(\varphi_i)\right]^2 \Delta \varphi</math>
[[Attēls:Planimeter.jpg|thumb|Planimetrs, kas mehāniski aprēķina polāros integrāļus]]
Tādēļ visu sektoru kopējais [[laukums]] ir:

<math>{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi }  </math>

Palielinot n daļu skaitu, apgabala tuvināšana turpina uzlaboties. Jo ierobežojuma n → <big>∞</big> , summa kļūst par ''[[Riemann]]'' summu no iepriekšējā integrāļa.

Mehāniskā ierīce, kas aprēķina apgabala integrālos skaitļus, ir planimetrs, kas mēra plaknes figūru laukumu, ņemot vērā, ka tas atkārto integrāciju polāro koordinātu veidā, pievienojot locītavu tā, ka divu elementu savienojums ietekmē Grīna teorēmu, pārveidojot kvadrātu polāro integrāli uz lineāro integrāli.

=== Vispārinājums ===
Izmantojot Dekarta koordinātas, bezgalīgi vienādu laukuma elementu var aprēķināt kā ''dA'' = ''dx'' ''dy''. Aizstājot vairāku integrāļu nosacījumus, izmantojot citas koordinātes, Jakobiāna determinants ar koordinātu konvertēšanas formulu:

<math>J = \det\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \varphi)}
  = \begin{vmatrix}
      \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\[2pt]
      \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi}
    \end{vmatrix}
  = \begin{vmatrix}
      \cos\varphi & -r\sin\varphi \\
      \sin\varphi &  r\cos\varphi
    \end{vmatrix}
  = r\cos^2\varphi + r\sin^2\varphi = r.
</math>Tāpēc, polāro koordinātu elementus var aizstāt ar:

<math>dA = dx\,dy\ = J\,dr\,d\varphi = r\,dr\,d\varphi
</math>

Tagad funkciju, kas norādīta polāro koordinātu veidā var integrēt:

<math>\iint_R f(x, y)\, dA = \int_a^b \int_0^{r(\varphi)} f(r, \varphi)\,r\,dr\,d\varphi</math>

Šeit R ir tāds pats apgabals kā iepriekš, proti, apgabals ko ierobežo līkne ''r''(''φ''), un stari ''φ'' = ''a'' un ''φ'' = ''b''.

Iepriekš minētā R apgabala formulu iegūst ņemot f indeksa vienādību ar 1. Šis pielietojums veido Gausa integrāli:

<math> \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx = \sqrt\pi</math>

=== Vektoru aprēķināšana ===
[[Vektors|Vektoru]] aprēķinu var izmantot arī polāro koordinātu gadījumā. Plakanai kustībai <math>\mathbf{r}</math> pozīcijas vektoram ( r cos(φ), r sin(φ)), kur r un φ ir atkarīgi no laika t.

Tiek definēti vienību vektori

<math>\hat{\mathbf{r}} = (\cos(\varphi), \sin(\varphi))</math>

<math>\mathbf{r}</math>virzienā

<math>\hat{\boldsymbol{\varphi}} = (-\sin(\varphi), \cos(\varphi)) = \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{r}} \ ,</math>

kustības plaknē, kas ir perpendikulāra radiālajam virzienam, kur <math>{\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}  
</math> ir vienības vektors.

Tad <math>{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=(x,\ y)=r(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )=r{\hat {\mathbf {r} }}\ ,\\{\dot {\mathbf {r} }}&=\left({\dot {x}},\ {\dot {y}}\right)={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\ ,\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {x}},\ {\ddot {y}}\right)\\&={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )\\&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\varphi }}+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\\&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\;{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\end{aligned}}}  </math>

== Diferenciālā ģeometrija ==
Mūsdienu terminoloģijā diferenciālo ģeometriju, polārās koordinātas nodrošina  ℝ <sup>2</sup> \ {(0,0)}. Šajās koordinātās Eiklīda metrisko tenzoru nosaka ar: <math display="inline">ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2</math>

To var redzēt, mainot mainīgo formulu metriskajam tenzoram vai aprēķinot diferenciālas formas ''dx'', ''dy'' ar  ārējo atvasinājumu <math>
x= rcos(\theta), y = rsin(\theta)</math> un aizstājot ar Eiklīda metrisko tenzoru<math>ds^2 = dx^2 + dy^2</math>. Ortonormēts rāmis saistībā ar šo metriku ir dota<math display="inline">e_r = \frac{\partial}{\partial r}, \quad e_\theta = \frac1r \frac{\partial}{\partial \theta},</math>ar divkāršu izteiksmi

<math display="inline">e^r = dr, \quad e^\theta = r d\theta</math>Savienojuma forma attiecībā pret šo rāmi un ''Levi-Civitas'' savienojumu ievada ar pārveidotu simetrisku matricu 1 formā

<math display="inline">\omega^i_j = \begin{pmatrix} 0 & -d\theta \\ d\theta & 0\end{pmatrix}</math>

un līdz ar to  forma <math>\Omega = d\omega + \omega^\omega</math> vienādi izzūd.

== Papildinājumi trīs dimensijās ==
Eksistē divas trīsdimensiju koordinātu sistēmas, kuru pamatā ir plaknes polāro koordinātu sistēma. Tās ir ''cilindriskā koordinātu sistēma'' un ''sfēriskā koordinātu sistēma''.

=== Cilindriskā koordinātu sistēma ===
{{Pamatraksts|Cilindriskā koordinātu sistēma}}

Ja polāro koordinātu sistēmu papildina ar vēl vienu [[koordinātu ass|koordinātu asi]], kas ir [[perpendikuls|perpendikulāra]] ''xy'' [[plakne]]i, tad iegūst '''cilindrisko koordinātu sistēmu'''.

=== Sfēriskā koordinātu sistēma ===
{{Pamatraksts|Sfēriskā koordinātu sistēma}}

Polāro koordinātu sistēmu var papildināt ar vēl vienu [[leņķis|leņķi]] (ar ''z'' asi) un iegūt '''sfērisko koordinātu sistēmu'''.

== Pielietojums ==
Polārās koordinātas ir divdimensiju formā un tādējādi tās var izmantot tikai tad, ja punktu pozīcijas atrodas vienā divdimensiju plaknē. Tie ir vispiemērotākie jebkurā veidā, kurā aplūkotā darbība tiek uzskatīta par sasaistītu ar virzienu un garumu no centra punkta. Piemēram, iepriekš minētie piemēri parāda, cik vienkārši polārie vienādojumi parāda, lai definētu līknes, piemēram, Arhimēda spirāli, kuras vienādojums Dekarta koordinātu sistēmā būtu daudz sarežģītāks. Turklāt daudzas fiziskās sistēmas, piemēram, tās, kas attiecas uz ķermeņiem, kas pārvietojas pa centrālo punktu vai parādās no centrālā punkta, ir vienkāršākas un intuitīvākas par modeli, izmantojot polārās koordinātas. Sākotnējā polārās sistēmas ieviešana bija apļveida un orbitālās kustības izpētes dēļ.

=== Pozīcija un navigācija ===
Polārās koordinātas bieži tiek izmantotas navigācijā, jo galamērķi vai ceļojuma virzienu var sniegt kā leņķi un attālumu no objekta, uz galamērķi. Piemēram, gaisa kuģi izmanto navigāciju polāro koordinātu veidā, nedaudz modificētā versijā. Šajā sistēmā, ko parasti izmanto jebkāda veida navigācijai, 0° staru parasti sauc par 360, un leņķis turpinās pulksteņrādītāja virzienā, nevis pretēji pulksteņa rādītāja virzienam, kā matemātiskajā sistēmā. Pozīcija 360 atbilst magnētiskajam ziemeļu virzienam, bet pozīcijas 90, 180 un 270 atbilst attiecīgi magnētiskajam austrumu, dienvidu un rietumu virzienam.<ref>{{tīmekļa atsauce|url=http://www.thaitechnics.com/nav/adf.html|title=Aircraft Navigation System|accessdate=2006-11-26|first=Sumrit|last=Santhi|archive-date=2019-10-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20191025210222/http://www.thaitechnics.com/nav/adf.html}}</ref>

=== Modelēšana ===
Sistēmas, kas attēlo radiālo simetriju, nodrošina dabiskus iestatījumus polāro koordinātu sistēmai, un centrālais punkts darbojas kā pols. Galvenais šāda pielietojuma piemērs ir gruntsūdeņu plūsmas vienādojums , ko piemēro simetriskām akām. Sistēmas ar radiālo spēku arī ir piemērotas polāro koordinātu sistēmas izmantošanai. Šīs sistēmas ietver gravitācijas laukus, kas pakļauti apgriezto laukumu likumiem, kā arī sistēmām ar punktveida avotiem, piemēram, radio antenām.

Radikāli asimetriskas sistēmas var modelēt arī ar polāro koordinātu palīdzību. Piemēram, mikrofons ir modelis, kas atveido proporcionālu atbildi uz ienākošo skaņu no konkrēta virziena, un šie modeļi var tikt attēloti kā polārās līknes. Standarta kardioīda mikrofona līkne, visbiežāk novietots vienvirziena mikrofons, var tikt attēlots kā <math>r = 0,5 + 0,5 sin(\phi)</math>mērķa projektēšanas frekvencē.<ref>{{grāmatas atsauce|last=Eargle|first=John|authorlink=John M. Eargle|title=Handbook of Recording Engineering|year=2005|edition=Fourth|publisher=Springer|isbn=0-387-28470-2}}</ref> Paraugs mainās uz visaptverošu virzienu zemākām frekvencēm.

== Atsauces ==
{{atsauces}}

== Ārējās saites==
{{sisterlinks-inline}}
{{enciklopēdiju ārējās saites}}
* Eric W. Weisstein, [http://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html Polar Coordinates], MathWorld.
* [http://planetmath.org/encyclopedia/PolarCoordinates.html Polar coordinates] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090308061052/http://planetmath.org/encyclopedia/PolarCoordinates.html |date={{dat|2009|03|08||bez}} }}, [http://planetmath.org/encyclopedia/ConstructionOfPolarCoordinates.html Construction of polar coordinates] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081209023714/http://planetmath.org/encyclopedia/ConstructionOfPolarCoordinates.html |date={{dat|2008|12|09||bez}} }}, PlanetMath.

{{autoritatīvā vadība}}

[[Kategorija:Koordinātu sistēmas]]
[[Kategorija:Kompleksie skaitļi]]