Apskatīt Rubika kuba matemātika izejas kodu

{{izolēts raksts|date=2019. gada decembris}}
{{jāuzlabo|jāsakārto atsauces, vienkārši jāpārkopē tās no krievu raksta, šeit, šķiet, Vizuālais redaktors ir visu sabojājis}}
[[Attēls:Rubik's_cube_scrambled.svg|thumb|150x150px| Sajaukts Rubika kubs]]
[[Attēls:Rubiks_cube_solved.jpg|thumb|150x150px| Sakārtots Rubika kubs]]
'''Rubika kuba matemātika''' ir matemātisko metožu kopums, kas apskata [[Rubika kubs|Rubika kuba]] īpašības no abstraktās matemātiskas skatu punkta. Šī matemātika pēta un novērtē kuba sakārtošanas [[Algoritms|algoritmus]]. Balstās uz [[Grafu teorija|grafu teoriju]], [[Grupu teorija|grupu teoriju]], [[Skaitāmības teorija|rekursīvo funkciju teoriju]] un [[Kombinatorika|kombinatoriku]].

Pastāv daudz [[Algoritms|algoritmu]], kas izstrādāti, lai pārvietotu [[Rubika kubs|Rubika kubu]] no patvaļīgas konfigurācijas uz ''galīgo konfigurāciju'' (sakārtots kubs). 2010. gadā tika stingri pierādīts, ka, lai pārvietotu [[Rubika kubs|Rubika kubu]] no patvaļīgas konfigurācijas uz saliktu konfigurāciju (bieži šis process tiek saukts par “sakārtošanu” vai “risinājumu”), pietiek ar mazāk kā 20 gājieniem, kas ir jebkuras skaldnes viens pagrieziens.<ref name="cube20"><span class="citation">''Rokicki, T.; Kociemba, H.; Davidson, M.; and Dethridge, J.'' <span lang="en">[http://www.cube20.org God's Number is 20]</span> <span title="на английском языке" class="ref-info" style="cursor:help;">(англ.)</span>. Дата обращения 19 июля 2013.</span></ref> Šis skaitlis ir [[Rubika kubs|Rubika kuba]] [[Grāfs Kailijs|Kailija skaita diametrs]].<ref>По системе образующих, состоящей из поворотов граней на ±90° и на 180°.</ref> 2014. gadā tika pierādīts, ka ar 26 gājieniem, pagriežot skaldnes tikai par 90°, vienmēr pietiek, lai atrisinātu [[Rubika kubs|Rubika kubu]].<ref name="cube26_qtm"><span class="citation">''Rokicki, T. and Davidson, M.'' <span lang="en">[http://www.cube20.org/qtm God's Number is 26 in the Quarter-Turn Metric]</span> <span title="на английском языке" class="ref-info" style="cursor:help;">(англ.)</span>. Дата обращения 4 июля 2015.</span></ref>

Algoritmu, kas atrisina mīklu ar pēc iespējas mazāku gājienu skaitu, sauc par [[Dieva algoritms|Dieva algoritmu]].

== Apzīmējumi ==
Šajā rakstā izmantoti “Singmastera apzīmējumi”,{{Sfn|Joyner|2002|p=7}} ko izstrādājis [[Deivids Singmasters]] un publicējis 1981. gadā, lai norādītu Rubika kuba skaldņu pagriešanas secību 3×3×3.

Burti <math>L,R,F,B,U,D</math> norāda attiecīgi 90° skaldnes pagriezienu pulksteņrādītāja virzienā pa kreisi (left), pa labi (right), uz priekšu (front), uz aizmuguri (back), augšup (up) un lejup (down). 180° skaldnes pagriešanu norāda, ar ciparu 2 burta labajā pusē vai augšējā indeksā, labajā pusē, norādot ciparu 2. Par 90° skaldnes griešanos pretēji pulksteņa rādītāja virzienam norāda, pievienojot apostrofu {{Nowrap|( ′ )}} vai pievienojot -1 pa labi no burta. Tā, piemēram, <math>L^2</math> un <math>L2</math> ir ekvivalenti apzīmējumi, kā arī <math>L'</math> un <math>L^{-1}</math>.

== Konfigurācijas skaita metrika ==
Pastāv divi visizplatītākie risinājuma garuma mērīšanas veidi (metriskie). Pirmais veids — tiek uzskatīts, ka viens pagrieziens pagriež šķautni par 90° (''quarter turn metric'', '''QTM'''). Saskaņā ar otro metodi viens gājiens skaitās šķautnes daļēja pagriešana (''face turn metric'', '''FTM''',vai '''HTM''' — ''half-turn metric''). Tātad, F2 (priekšējās virsmas pagriešana par 180°) var tikt apzīmēta ar diviem gājieniem QTM metrikā vai vienu gājienu FTM metrikā.<ref name="slocum2009"><span class="citation no-wikidata" data-wikidata-property-id="P1343">''Jerry Slocum, David Singmaster, Wei-Hwa Huang, Dieter Gebhardt, Geert Hellings.'' [http://amzn.com/157912805X The Cube: The Ultimate Guide to the World's Bestselling Puzzle — Secrets, Stories, Solutions]{{Novecojusi saite}}. — 2009. — С. 26. — 142 с.</span></ref><ref name="jaap_metric"><span class="citation">''Jaap Scherphuis.'' <span lang="en">[http://www.jaapsch.net/puzzles/theory.htm#metric Useful Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121124002029/http://www.jaapsch.net/puzzles/theory.htm#metric |date={{dat|2012|11|24||bez}} }}.Metrics</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span> <span class="ref-info">(недоступная ссылка)</span>. Дата обращения 17 июля 2013. [https://web.archive.org/web/20121124002029/http://www.jaapsch.net/puzzles/theory.htm#metric Архивировано] 24 ноября 2012 года.</span></ref>

Lai tekstā norādītu izmantotās metrikas risinājuma garumu, tiek izmantots apzīmējums, kas sastāv no gājienu skaita un metrikas apzīmējuma mazā burta. '''14f''' apzīmē — 14 gājienus FTM metrikā, bet '''10q''' apzīmē 10 gājienus QTM metrikā. Lai norādītu, ka šajā metrikā gājienu skaits ir minimālais, tiek izmantota zvaigznīte: '''10f *''' norāda optimālo risinājumu skaitu — 10 gājienus FTM metrikā.

== Rubika kuba grupa ==
Rubika kubu var uzskatīt par [[Grupa (matemātika)|matemātiskas grupas]] piemēru.

Katru no sešām Rubika kuba skaldnēm var sadalīt deviņās daļās un kopumā Rubika kuba 48 etiķešu komplektu var uzskatīt par [[Simetriskā grupa|simetriskās grupas]] elementu, kas nav skaldņu centri. Precīzāk, jūs varat atzīmēt visas 48 etiķetes ar cipariem no 1 līdz 48 un sagrupēt katru no tām pa gājieniem <math>
\{F,B,U,D,L,R\}</math>, kas būtu elementi simetriskās grupas <math>S_{48}</math>.

Tad Rubika kuba grupa <math>G</math> tiek definēta kā [[apakšgrupa]] <math>S_{48}</math>, kas sastāv no sešām skaldnes rotācijām: <center><math>G=\langle F,B,U,D,L,R\rangle</math></center> Secība grupai <math>G</math> vienāda ar:<ref name="GAP" /><ref name="jaap_cube3"><span class="citation">''Jaap Scherphuis.'' <span lang="en">[http://www.jaapsch.net/puzzles/cube3.htm Rubik's Cube 3x3x3] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130728153420/http://www.jaapsch.net/puzzles/cube3.htm |date={{dat|2013|07|28||bez}} }}</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span> <span class="ref-info">(недоступная ссылка)</span>. Дата обращения 19 июля 2013. [https://web.archive.org/web/20130728153420/http://www.jaapsch.net/puzzles/cube3.htm Архивировано] 28 июля 2013 года.</span></ref> <center><math>|G| = \dfrac{8!\cdot 12!\cdot 3^8\cdot 2^{12}}{3\cdot 2\cdot 2} = 43\ 252\ 003\ 274\ 489\ 856\ 000 = 2^{27}\cdot 3^{14}\cdot 5^3\cdot 7^2\cdot 11</math></center> Katru no <math>4{,}325\cdot 10^{19}</math> risinājumiem var paveikt ne vairāk kā ar 20 gājieniem (ja par gājienu uzskata jebkuru skaldnes pagriezienu).<ref name="cube20"/>

Grupas <math>G</math> elementu secība vienāda ar 1260. Piemēram, gājienu secību <math>(R\ U^2\ D^{\prime}\ B\ D^{\prime})</math> ir nepieciešams atkārtot 1260 reizes, lai Rubika kubs atgrieztos sākotnējā stāvoklī.{{Sfn|Joyner|2008|pp=[https://books.google.com/books?id{{=}}iM0fco-_Ri8C&pg{{=}}PA93 93], 108}}

== Dieva algoritms ==
Dieva algoritms radās ne vēlāk kā 1980. gadā, kad tika aizsākta sarakste starp Rubika kuba faniem.<ref name="slocum2009" /> Kopš tā laika matemātiķi, programmētāji un amatieri ir centušies atrast Dieva algoritmu, lai praksē spētu atrast minimālo gājienu skaits, lai sakārtotu Rubika kubu. Tā kā Rubika kubu ir nepieciešams pilnībā sakārtot, tad no algoritma tika prasīts atrast vajadzīgo gājienu skaitu, lai atrisinātu mīklu.

2010. gadā programmētājs Tomass Rokiki no [[Paloalto|Palo Alto]], matemātikas skolotājs Herberts Kotsemba no [[Darmštate]]s, [[Kentas Universitāte]]s matemātiķis Morlijs Deividsons un [[Google|Google Inc.]] inženieris Džons Detridžs pierādīja, ka Rubika kubu no jebkura izjaukta stāvokļa var sakārtot atpakaļ sākotnējā stāvoklī vien ar 20 gājieniem. Turklāt jebkurš skaldnes pagrieziens tika uzskatīts par vienu kustību. Lai veiktu aprēķina secību bija nepieciešami 35 gadi no [[CPU laiks|procesora darbības laika]], ko ziedoja kompānija Google.<ref name="cube20" /><ref name="koci_performance"><span class="citation">''Herbert Kociemba.'' <span lang="en">[http://kociemba.org/performance.htm Two-Phase-Algorithm and God's Algorithm: God's number is 20] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130502030137/http://kociemba.org/performance.htm |date={{dat|2013|05|02||bez}} }}</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span> <span class="ref-info">(недоступная ссылка)</span>. Дата обращения 23 июля 2013. [https://web.archive.org/web/20130502030137/http://kociemba.org/performance.htm Архивировано] 2 мая 2013 года.</span></ref> Tehniskie dati par datoru skaitu un veiktspēju netika atklāti. Aprēķinu ilgums sasniedza vairākas nedēļas.<ref name="the_quest"><span class="citation">''Rik van Grol.'' <span lang="en">[http://digitaleditions.walsworthprintgroup.com/article/The_Quest_For_God%E2%80%99s_Number/532775/50242/article.html The Quest For God’s Number]</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span>. Math Horizons (November 2010). Дата обращения 26 июля 2013.</span></ref><ref name="hsta"><span class="citation no-wikidata" data-wikidata-property-id="P1343">''Stefan Edelkamp, Stefan Schrōdl.'' Heuristic search: theory and applications. — [[Morgan Kaufmann Publishers]], 2012. — 712 с. — {{ISBN|978-0-12-372512-7}}.</span></ref><ref name="siam2013">[http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/120867366 SIAM J. Discrete Math., 27(2), 1082—1105]</ref>

Tomass Rokiki un Morlijs Davidsons 2014. gadā pierādīja, ka Rubika kubu var sakārtot ar ne vairāk kā 26 gājieniem, neizmantojot 180° skaldņu pagriezienus. Aprēķins aizņēma 29 gadus no procesora darbības laika Ohaio superdatoru centrā.<ref name="cube26_qtm"/>

=== Zemāki Dieva skaita aprēķini ===
Ir viegli parādīt, ka pastāv atrisinājuma konfigurācijas,<ref>«Разрешимой» конфигурацией называется конфигурация, которая может быть переведена в собранную. Так как граф кубика Рубика ненаправленный, из этого следует, что любая конфигурация, полученная из исходной произвольной последовательностью ходов разрешима. Но существуют неразрешимые конфигурации. Например, если в собранном состоянии повернуть одну из вершин кубика на 120°, то получится неразрешимая конфигурация.</ref> kuras nevar atrisināt ar mazāk nekā 17 gājieniem FTM metrikā vai 19 gājieniem QTM metrikā.

Šo atrisinājumu skaitu var uzlabot, ņemot vērā papildu identitātes: divu pretējo virsmu rotācijas (LR = RL, L2 R = R L2 utt.). Līdzīga pieeja ļauj mums iegūt Dieva skaitļa apakšējo robežu 18f vai 21q.<ref name="kvant_1992_11"><span class="citation">''В. Дубровский, А. Калинин.'' [http://kvant.mccme.ru/1992/11/novosti_kubologii.htm Новости кубологии] // [[Квант (журнал)|Квант]]. — 1992. — <span class="nowrap">№ 11</span>. — <span class="nowrap">С. 52-56</span>.</span></ref><ref name="jaap_godal"><span class="citation">''Jaap Scherphuis.'' <span lang="en">[http://www.jaapsch.net/puzzles/theory.htm#godal Useful Mathematics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121124002029/http://www.jaapsch.net/puzzles/theory.htm#godal |date={{dat|2012|11|24||bez}} }}. God's Algorithm</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span> <span class="ref-info">(недоступная ссылка)</span>. Дата обращения 17 июля 2013. [https://web.archive.org/web/20121124002029/http://www.jaapsch.net/puzzles/theory.htm#godal Архивировано] 24 ноября 2012 года.</span></ref><ref name="kvant_1992_11" /><ref name="jaap_godal" />
[[Attēls:Superflip1.svg|thumb|''Super flip'' ir pirmā atklātā konfigurācija, kas atrodas 20f * gājienu attālumā no sākotnējā stāvokļa]]
Šis atrisinājums jau sen ir palicis kā labākais no zināmajiem. Tas izriet no nekonstruktīviem pierādījumiem, jo tas nenorāda uz konkrētu konfigurācijas piemēru, kura montāžai nepieciešams 18f vai 21q gājienu skaits.

Viena no konfigurācijām, kurai nebija iespējams atrast īsāku risinājumu, bija tā sauktais ''[[Super flip]]'' vai ''12-flip''. ''Super flip'' risinājumā visi stūra un malas klucīši ir savās vietās, bet katrs malas kubs ir vērsts pretējā virzienā.<ref name="reid_msymmetric"><span class="citation">''Michael Reid.'' <span lang="en">[http://cflmath.com/Rubik/m_symmetric.html Michael Reid's Rubik's cube page]. M-symmetric positions</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span> (May 24, 2005). Дата обращения 17 июля 2013.</span></ref> Virsotne, kas atbilst ''Super flip'' Rubika kuba skaitam, ir lokālā maksimālā vērtība: jebkurš šīs konfigurācijas pārvietojums samazina attālumu līdz sākotnējai konfigurācijai. Tas liek domāt, ka ''Super flip'' ir maksimālā attālumā no sākotnējās konfigurācijas. Tas ir, ''Super flip'' ir globālais maksimums.<ref name="circular_5_24"><span class="citation">''David Singmaster.'' [http://www.jaapsch.net/puzzles/cubic5.htm#p24 Cubic Circular] <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span>. — 1982. — <span class="nowrap">Iss. 5 & 6</span>. — <span class="nowrap">P. 24</span>.</span></ref>{{Sfn|Joyner|2002|p=149}}<ref name="pochmann_thesis"><span class="citation">''Stefan Pochmann.'' [http://www.stefan-pochmann.info/hume/hume_diploma_thesis.pdf Analyzing Human Solving Methods for Rubik’s Cube and similar Puzzles (Diploma Thesis)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141109173029/http://www.stefan-pochmann.info/hume/hume_diploma_thesis.pdf |date={{dat|2014|11|09||bez}} }} <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span>.</span></ref>

1992. gadā Diks T. Vinterds atrada "Super flip" risinājumu pie 20f.<ref name="winter_92_sf"><span class="citation">''Dik T. Winter.'' <span lang="en">[http://www.math.rwth-aachen.de/~Martin.Schoenert/Cube-Lovers/Dik_T._Winter__Kociemba%27s_algorithm_%283%29.html Kociemba's algorithm]</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span> (Mon, 18 May 92 00:49:48 +0200). Дата обращения 17 июля 2013.</span></ref> Maikls Rīds 1995. gadā pierādīja šī risinājuma pietiekamību,<ref name="reid_95_sf"><span class="citation">''Michael Reid.'' <span lang="en">[http://www.math.rwth-aachen.de/~Martin.Schoenert/Cube-Lovers/michael_reid__superflip_requires_20_face_turns.html superflip requires 20 face turns]</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span> (Wed, 18 Jan 95 10:13:45 -0500). Дата обращения 17 июля 2013.</span></ref> kā rezultātā Dieva skaita apakšējā robeža kļuva par 20 FTM. 1995. gadā Maikls Rīds atklāja “Super flip” risinājumu kā 24q.<ref name="reid_95_sf_q"><span class="citation">''Michael Reid.'' <span lang="en">[http://www.math.rwth-aachen.de/~Martin.Schoenert/Cube-Lovers/michael_reid__superflip.html superflip]</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span> (Tue, 10 Jan 95 18:57:20 -0500). Дата обращения 17 июля 2013.</span></ref> Šī risinājuma pietiekamību pierādīja Džerijs Braiens.<ref name="bryan_95_sf_q"><span class="citation">''Jerry Bryan.'' <span lang="en">[http://www.math.rwth-aachen.de/~Martin.Schoenert/Cube-Lovers/Jerry_Bryan__Qturn_Lengths_of_M-Symmetric_Positions.html Qturn Lengths of M-Symmetric Positions]</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span> (Sun, 19 Feb 95 23:20:22 -0500 (EST)). Дата обращения 17 июля 2013.</span></ref> Maikls Rīds 1998. gadā atrada konfigurāciju, kuras optimālais risinājums bija 26q *.<ref name="reid_98_26q"><span class="citation">''Michael Reid.'' <span lang="en">[http://www.cube20.org/cubelovers/CL25/106.txt superflip composed with four spot]</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span> (Sun, 2 Aug 1998 08:47:44 -0400). Дата обращения 4 июля 2015.</span></ref>

=== Dieva skaita augšējie aprēķini ===
Lai iegūtu Dieva skaitļa augšējo robežu, pietiek norādīt jebkuru mīklas risinājuma algoritmu, kas sastāv no ierobežota skaita gājieniem.

Pirmie augšējie Dieva skaita aprēķini balstījās uz "cilvēka" algoritmiem, kas sastāv no vairākiem posmiem. Augšējo robežu pievienošana katram posmam ļāva iegūt galīgo aprēķinu par vairākiem desmitiem vai simts gājieniem.

Droši vien, pirmo konkrēto novērtējumu no augšējā skaita deva [[Deivids Singmasters]] 1979. gadā. Viņa sakārtošanas algoritms ļāva atrisināt mīklu ne vairāk kā ar 277 gājieniem.<ref name="the_quest" /><ref name="kaluzhnin_143"><span class="citation no-wikidata" data-wikidata-property-id="P1343">''Л. А. Калужнин, В. И. Сущанский.'' Преобразования и перестановки. — М, 1985. — С. 143. — 160 с.</span></ref> Vēlāk Singmasters teica, ka Elvin Berlykemp, [[Konvejs, Džons Hortons|John Conway]] un [[Ričards Kenets Gajs|Ričards Guy]] izstrādātais algoritms, prasa ne vairāk kā 160 gājienus. Drīz vien "Conway's Cambridge Cubists" grupā tika sastādīta vienas skaldnes kombināciju saraksts, atradot 94 gājienu algoritmus.<ref name="singmaster_notes"><span class="citation"><span class="citation">''David Singmaster.'' Notes on Rubik's Magic Cube. — Enslow Publishers, 1981. — P. 30.</span></span></ref> 1982. gadā žurnāls [[Quantum (žurnāls)|"Quantum"]] publicēja to kombināciju sarakstu, kas spēja atrisināt Rubika kubu 79 gājienos.<ref name="kvant_1982_7"><span class="citation">''В. Дубровский.'' [http://kvant.mccme.ru/1982/07/algoritm_volshebnogo_kubika.htm Алгоритм волшебного кубика] // [[Квант (журнал)|Квант]]. — 1982. — <span class="nowrap">№ 7</span>. — <span class="nowrap">С. 22-25</span>.</span></ref>

==== Thistletway algoritms ====
Astoņdesmito gadu sākumā angļu matemātiķis [[Thistletwaite, Morven B.|Morvins Tistletvaits]] izstrādāja algoritmu, kas ievērojami uzlaboja augšējo Dieva robežu. Sīkāka informācija par algoritmu tika publicēta 1981. gadā žurnālā ''[[Zinātniskais amerikānis|Scientific American]], ko rakstīja [[Hofstadters, Douglass|Douglas Hofstadter]]''. Algoritms balstījās uz [[Grupu teorija|grupu teoriju]] un ietvēra četrus posmus.

===== Apraksts =====
Thistletway izmantoja vairākas apakšgrupas, kuru garums bija 4 <center> <math>G=G_0\supseteq G_1\supseteq G_2\supseteq G_3\supseteq G_4=\{1\}</math>, kur: </center>

* <math>G_0=\langle L,R,F,B,U,D\rangle</math>

: Šī grupa ir tāda pati kā Rubika kuba grupa. <math>G</math>. Tās secība ir<ref>Порядок этой и следующих трёх групп вычисляется как произведение трёх множителей, указывающих соответственно количество разрешимых конфигураций углов, количество разрешимых конфигураций рёбер и общее ограничение «чётности» разрешимой конфигурации.</ref><ref name="jaap-subgroup"><span class="citation">''Jaap Scherphuis.'' <span lang="en">[http://www.jaapsch.net/puzzles/subgroup.htm Cube subgroups] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130120032850/http://www.jaapsch.net/puzzles/subgroup.htm |date={{dat|2013|01|20||bez}} }}. Subgroups generated by face moves</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span> <span class="ref-info">(недоступная ссылка)</span>. Дата обращения 19 июля 2013. [https://web.archive.org/web/20130120032850/http://www.jaapsch.net/puzzles/subgroup.htm Архивировано] 20 января 2013 года.</span></ref>

<center><math>\dfrac{8!\cdot 3^8}{3}\cdot\dfrac{12!\cdot 2^{12}}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=43\ 252\ 003\ 274\ 489\ 856\ 000</math></center>

* <math>G_1=\langle L^2,R^2,F,B,U,D\rangle</math>

: Šajā apakšgrupā ietilpst visas konfigurācijas, kuras var atrisināt, neizmantojot kreisās vai labās puses pagriezienus par ± 90 °. Viņu secība vienāda ar:

<center><math>\dfrac{8!\cdot 3^8}{3}\cdot 12!\cdot\dfrac{1}{2}=21\ 119\ 142\ 223\ 872\ 000</math></center>

* <math>G_2=\langle L^2,R^2,F^2,B^2,U,D\rangle</math>

: Šajā apakšgrupā ietilpst visas konfigurācijas, kuras var atrisināt, ja ir aizliegta četru vertikālo virsmu pagriešana ± 90 °. Viņu kārtība ir vienāda

<center><math>8!\cdot (8!\cdot 4!)\cdot\dfrac{1}{2}=19\ 508\ 428\ 800</math></center>

* <math>G_3=\langle L^2,R^2,F^2,B^2,U^2,D^2\rangle</math>

: Šajā apakšgrupā ietilpst visas konfigurācijas, kuras var atrisināt tikai, izmantojot 180° pagriezienus (daļējus pagriezienus). To sauc par “kvadrātu grupu”(squares group). Viņu kārtība ir vienāda

<center><math>(4!\cdot 4)\cdot\dfrac{4!\cdot 4!\cdot 4!}{2}\cdot 1=663\ 552</math></center>

* <math>G_4=\{1\}</math>

: Šajā apakšgrupā ir iekļauta viena sākotnējā konfigurācija.

Pirmajā posmā patvaļīga konfigurācija no grupas <math>G</math> samazināts līdz konfigurācijai, kas atrodas apakšgrupā <math>G_1</math>. Otrās pakāpes mērķis ir panākt kuba konfigurāciju apakšgrupā <math>G_2</math> neizmantojot kreisās un labās puses pagriezienus ± 90°. Trešajā posmā Rubika kubs tiek samazināts līdz konfigurācijai, kas pieder grupai <math>G_3</math>, savukārt vertikālo virsmu pagriešana ± 90° ir aizliegta. Pēdējā, ceturtajā posmā Rubika kubs ir pilnībā salikts, pagriežot malas par 180°.

[[Apakšgrupu indekss|Apakšgrupu indeksi]] <math>[G_i:G_{i+1}]</math>, kur <math>i=0,1,2,3</math> vienāds ar attiecīgi 2048, 1082565, 29400 un 663552.

Katrai no četrām blakus esošās klases ģimenēm <math>G_i/G_{i+1}</math> [[meklēšanas tabula]] ir izveidota <math>T_i</math> kuru lielums sakrīt ar apakšgrupas indeksu <math>G_{i+1}</math> grupā <math>G_i</math>. Katrā blakus esošajā klasē pa apakšgrupām <math>G_{i}</math> uzmeklēšanas tabula <math>T_i</math> satur kustību secību, kas pārveido jebkuru konfigurāciju no šīs blakus esošās klases uz konfigurāciju, kas atrodas pašā apakšgrupā <math>G_i</math>.

Lai samazinātu ierakstu skaitu uzmeklēšanas tabulās, Thistletways izmantoja vienkāršotus sākotnējos gājienus. Sākotnēji viņš saņēma rezultātu 85 gājienos. 1980. gadā šis rādītājs tika samazināts līdz 80 gājieniem, pēc tam līdz 63 un tad jau 52.<ref name="the_quest" /><ref name="cubeman_dotcs"><span class="citation">''Mark Longridge.'' <span lang="en">[http://cubeman.org/dotcs.txt Progressive Improvements in Solving Algorithms] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131009060245/http://cubeman.org/dotcs.txt |date={{dat|2013|10|09||bez}} }}</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span>. Дата обращения 28 июля 2013.</span></ref> Thistletway studenti veica pilnīgu katra soļa analīzi. Maksimālās vērtības tabulās ir attiecīgi FTM 7, 10, 13 un 15 gājieni. Tā kā 7 + 10 + 13 + 15 = 45, Rubika kubu vienmēr var atrisināt 45 FTM kustībās.<ref name="pochmann_thesis" /><ref name="kvant_1982_8"><span class="citation">''В. Дубровский.'' [http://kvant.mccme.ru/1982/08/matematika_volshebnogo_kubika.htm Математика волшебного кубика] // [[Квант (журнал)|Квант]]. — 1982. — <span class="nowrap">№ 8</span>. — <span class="nowrap">С. 22-27, 48</span>.</span></ref><ref name="jaap-thistle"><span class="citation">''Jaap Scherphuis.'' <span lang="en">[http://www.jaapsch.net/puzzles/thistle.htm Thistlethwaite's 52-move algorithm]</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span>. Дата обращения 17 июля 2013.</span></ref>

===== Šreijera skaits =====
Šreijera skaits — <math>S(G,X,H)</math> saistīts ar grupas <math>G</math> ģeneratora komplektu <math>X=\{x_i|i\in I\}</math> un apakšgrupu <math>H\subseteq G</math>. Katra Šreijera grafika virsotne ir labā robeža <math>Hg=\{hg|h\in H\}</math> dažiem <math>g\in G</math>. Šreijera skaitam ir pāri <math>(Hg,Hgx_i)</math>.

Katrs no Thistletway algoritma četriem soļiem ir [[Meklēšana plašumā|gājiens pa]] Šreijera grafika [[Meklēšana plašumā|platumu]] <math>S_i(G_i,X_i,G_{i+1})</math> kur <math>X_i</math> — ģenerējošo grupu komplekts <math>G_i</math>.

Tādējādi augšējais punktu skaits 45 kustībās ir vienāds ar

: <math>\sum_{i=0}^{3}(\epsilon(v_i))</math>,

kur

: <math>\epsilon(v_i)</math> — [[Ekscentriskuma virsotnes|virsotnes ekscentriskums]] <math>v_i\in S_i</math> kas atbilst vienībai, kas robežojas ar klasi <math>G_{i+1}</math>.

Šreijera jēdziens tika izmantots Radu,<ref name="radu_27f"><span class="citation">''silviu.'' <span lang="und">[http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/53 Rubik can be solved in 27f] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130827214604/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F53 |date={{dat|2013|08|27||bez}} }}</span><span class="hidden-ref" style="display:none">''' <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на неопределённом языке">(неопр.)</span>'''</span>. Domain of the Cube Forum (04/01/2006). Дата обращения 20 июля 2013.</span></ref> Kankla un Kupermana<ref name="kunkle_cooperman_2007_paper"><cite style="font-style:normal">''Kunkle, D.''; ''Cooperman, C.'' (2007). "[http://www.ccs.neu.edu/home/gene/papers/rubik.pdf Twenty-Six Moves Suffice for Rubik's Cube] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190218050513/http://www.ccs.neu.edu/home/gene/papers/rubik.pdf |date={{dat|2019|02|18||bez}} }}" (PDF). ''Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC '07)'', ACM Press.</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=proceeding&rft.btitle=Proceedings+of+the+International+Symposium+on+Symbolic+and+Algebraic+Computation+%28ISSAC+%2707%29&rft.atitle=Twenty-Six+Moves+Suffice+for+Rubik%27s+Cube&rft.aulast=Kunkle&rft.aufirst=D.&rft.date=2007&rft.pub=ACM+Press&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.ccs.neu.edu%2Fhome%2Fgene%2Fpapers%2Frubik.pdf"> </span></ref> darbos.

==== Thistletwait algoritma modifikācijas ====
1990. gada decembrī Hanss Kloostermans izmantoja mainītu Thistletwaita metodes versiju, lai pierādītu 42 gājienu pietiekamību.<ref name="cube20" /><ref name="kvant_1992_11" /><ref name="kloosterman"><span class="citation">''Michael Reid.'' <span lang="en">[http://www.math.rwth-aachen.de/~Martin.Schoenert/Cube-Lovers/michael_reid__an_upper_bound_on_god%27s_number.html an upper bound on god's number]</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span> (Wed, 29 Apr 92 01:37:26 -0700 (PDT)). Дата обращения 17 июля 2013.</span></ref>

1992. gada maijā Maikls Rīds uzrādīja pietiekamību 39f jeb 56q.<ref name="reid_39f_56q"><span class="citation">''Michael Reid.'' <span lang="en">[http://www.math.rwth-aachen.de/~Martin.Schoenert/Cube-Lovers/michael_reid__new_upper_bound.html new upper bound]</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span> (Fri, 22 May 92 22:56:34 -0700 (PDT)). Дата обращения 19 июля 2013.</span></ref> Tā modifikācijā tika izmantota šāda apakšgrupu ķēde:

* <math>G_0=\langle U,F,R,L,B,D\rangle</math>
* <math>G_1=\langle U,R,F\rangle</math>
* <math>G_2=\langle U,R^2,F^2\rangle</math>
* <math>G_3=\{1\}</math>

Dažas dienas vēlāk Diks T. Vinters pazemināja savu rezultātu FTM metrikā līdz 37 gājieniem.<ref name="winter_37f"><span class="citation">''Dik T. Winter.'' <span lang="en">[http://www.math.rwth-aachen.de/~Martin.Schoenert/Cube-Lovers/Dik_T._Winter__Corrected_calculations_are_now_done..html Corrected calculations are now done.]</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span> (Thu, 28 May 92 15:00:49 +0200). Дата обращения 19 июля 2013.</span></ref>

Ryan Hayes 2002. gada decembrī izstrādāja Thistletwaita algoritma variantu, kas paredzēts Rubika kuba [[Rubika kubs|ātrdarbīgai sakārtošanai]].<ref name="heise_thistle"><span class="citation">''Ryan Heise.'' <span lang="en">[http://www.ryanheise.com/cube/human_thistlethwaite_algorithm.html The Human Thistlethwaite Algorithm]</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span>. Дата обращения 19 июля 2013.</span></ref>

==== Kotsomba divfāžu algoritms ====
[[Attēls:Rubik-3-facelet-kociemba.svg|thumb|Rubika kuba starpposma stāvoklis Kotsomba algoritmā. Otrajā posmā atļautie gājieni saglabā “+” un “-” atzīmju atrašanās vietu]]
''Thistletwait'' algoritmu 1992. gadā uzlaboja Herberts Kotsemba, matemātikas skolotājs no Darmštates.

===== Apraksts =====
Kotsemba samazināja algoritma posmu skaitu līdz diviem:<ref name="kvant_1992_11" /><ref name="koci_imptwophase"><span class="citation">''Herbert Kociemba.'' <span lang="en">[http://kociemba.org/math/imptwophase.htm Two-Phase Algorithm Details]</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span>. Дата обращения 20 июля 2013.</span></ref><ref name="jaap_kocal"><span class="citation">''Jaap Scherphuis.'' <span lang="en">[http://www.jaapsch.net/puzzles/compcube.htm#kocal Computer Puzzling] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200525214643/https://www.jaapsch.net/puzzles/compcube.htm#kocal |date={{dat|2020|05|25||bez}} }}. Kociemba's Algorithm</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span>. Дата обращения 23 июля 2013.</span></ref>

* <math>G_0=\langle U,D,L,R,F,B\rangle</math>
* <math>G_1=\langle U,D,L^2,R^2,F^2,B^2\rangle</math>
* <math>G_2=\{1\}</math>

Vizuāls grupas apraksts <math>G_1</math> var iegūt, veicot šādu marķējumu:<ref name="kvant_1992_11" /><ref name="koci_subgroupH"><span class="citation">''Herbert Kociemba.'' <span lang="en">[http://kociemba.org/math/20moves/subgroupH.html The Subgroup H and its cosets]</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span>. Дата обращения 23 июля 2013.</span></ref>

* Atzīmējiet visas '''U''' un '''D''' etiķetes ar “+”.
* '''F''' un '''B''' etiķetes uz šķautņu malu elementiem '''FR''', '''FL''', '''BL''' un '''BR ir''' jāmarķē ar “-”.
* Pārējās etiķetes atstājiet bez atzīmēm.

Tad visās grupas konfigurācijās <math>G_1</math> būs tāds pats iezīmējums (atbilst marķējumam uz sakārtotā kuba).

Risinājums sastāv no diviem posmiem. Pirmajā posmā norādītā konfigurācija <math>x\in G_0</math> tulkots ar gājienu secību <math>s_1</math> kaut kādā konfigurācijā <math>x^{\prime}\in G_1</math>. Citiem vārdiem sakot, pirmā posma uzdevums ir atjaunot marķējumu, kas atbilst sākotnējai konfigurācijai, ignorējot etiķešu krāsas.

Otrajā posmā — konfigurācija <math>x^{\prime}\in G_1</math> tulkots ar gājienu secību <math>s_2</math> uz sākotnējo konfigurāciju. Šajā gadījumā sānu virsmu pagriezienus par ± 90° neizmanto, kā dēļ marķējums tiek automātiski saglabāts.

Apkopojot secības <math>s_1</math> un <math>s_2</math>, tas ir suboptimāls sākotnējās konfigurācijas risinājums.<ref name="kvant_1992_11" /><ref name="jaap_kocal" /><ref name="koci_twophase"><span class="citation">''Herbert Kociemba.'' <span lang="en">[http://kociemba.org/twophase.htm The Two-Phase-Algorithm]</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span>. Дата обращения 23 июля 2013.</span></ref>

===== Alternatīvi suboptimālie risinājumi =====
Pēc pirmā risinājuma atklāšanas Kotsomba algoritms neapstājas. Alternatīvi optimāli risinājumi pirmajā posmā var izraisīt īsākus risinājumus otrajā posmā, kas samazinās kopējo risinājuma garumu. Algoritms arī turpina meklēt neoptimālus risinājumus pirmajā posmā to garuma pieaugošā secībā.<ref name="kvant_1992_11" /><ref name="jaap_kocal" /><ref name="koci_twophase" />

===== Ieviešanas funkcijas =====
Lai rastu risinājumus katrā no diviem posmiem, [[IDA *]] algoritms tiek izmantots ar heiristiskām funkcijām, kuru pamatā ir attiecīgo apakšuzdevumu risināšanas alternatīvas.<ref name="koci_twophase" />

Pirmā posma uzdevums ir atrast risinājumu telpā ar trim koordinātām no marķējuma ar koordinātām (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>, ''z''<sub>1</sub>) līdz marķējumam (0, 0, 0):<ref>[http://kociemba.org/math/twophase.htm Биекция между конфигурациями и тройками координат] установлена таким образом, что целевой разметке первого этапа (т.е. любой конфигурации из группы ''G''<sub>1</sub>) соответствует тройка (0, 0, 0).</ref>

# Orientācija ''x''<sub>1</sub> astoņiem stūra elementiem (2187 vērtības)
# Orientācija ''y''<sub>1</sub> divpadsmit malas elementiem (2048 vērtības)
# Četru malu elementu '''FR''', '''FL''', '''BL''' un '''BR''' — ''z''<sub>1</sub> izvietojums (495 vērtības)

Apskatīsim trīs apakšuzdevumus, kā atrast risinājumu no iezīmēšanas (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>, ''z''<sub>1</sub>) līdz iezīmējumam (''x''<sub>1</sub>', ''y<sub>1</sub>'' ', 0), (''x'' <sub>1</sub> ', 0, ''z''<sub>1</sub>'), (0, ''y''<sub>1</sub> ', ''z''<sub>1</sub> '). Pirmajā posmā izmantotās heiristiskās funkcijas ''h<sub>1</sub>'' vērtība ir vienāda ar šo apakšproblēmu risināšanas alternatīvo maksimālo. Apakšuzdevumu risināšanas alternatīvas ir iepriekš aprēķinātas un saglabātas datu bāzu veidā ar veidnēm.<ref name="russell_norvig_adm"><span class="citation no-wikidata" data-wikidata-property-id="P1343">''Стюарт Рассел, Питер Норвиг.'' <span data-wikidata-qualifier-id="P248">Составление допустимых эвристических функций</span> &#x2F;&#x2F; Искусственный интеллект: современный подход &#x3D; Artificial Intelligence: A Modern Approach. — 2-е изд.. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Вильямс, 2006. — С. 170 — 173. — 1408 с. — {{ISBN|5-8459-0887-6}}.</span></ref><ref>Англ. ''pattern databases''. В [http://kociemba.org/math/pruning.htm изложении автора алгоритма] — «pruning tables».</ref>

Otrās pakāpes uzdevums ir atrast risinājumu telpā ar trim koordinātām no konfigurācijas (''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>, ''z''<sub>2</sub>) līdz konfigurācijai (0, 0, 0):<ref>Из-за ограничения, связанного с чётностью перестановки элементов, встречается только половина всех троек координат.</ref>

# Pārkārtot ''x'' <sub>2</sub> astoņus malu elementus (40,320 vērtības)
# Pārkārtojiet ''y'' <sub>2</sub> astoņiem augšējās un apakšējās malas elementiem (40320 vērtības)
# Pārkārtojiet ''z'' <sub>2</sub> vidējā slāņa četriem malu elementiem (24 vērtības)

Apsveriet trīs apakšuzdevumus, kā atrast ceļu no konfigurācijas (''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>, ''z''<sub>2</sub>) konfigurācijā (''x''<sub>2</sub>', ''y''<sub>2</sub>', 0), (''x''<sub>2</sub>', 0, ''z''<sub>2</sub>'), (0, ''y''<sub>2</sub>', ''z''<sub>2</sub>'). Otrajā posmā izmantotās heiristiskās funkcijas ''h''<sub>2</sub> vērtība ir vienāda ar šo apakšproblēmu risināšanas alternatīvo maksimālo.

Algoritmā tiek izmantotas papildu optimizācijas, kuru mērķis ir palielināt ātrumu un samazināt atmiņu, ko aizņem tabulas.<ref name="kvant_1992_11" /><ref name="koci_imptwophase" /><ref name="jaap_kocal" /><ref name="koci_pruning"><span class="citation">''Herbert Kociemba.'' <span lang="en">[http://kociemba.org/math/pruning.htm Pruning Tables]</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span>. Дата обращения 23 июля 2013.</span></ref>

===== Programmatūras ieviešana =====
Cube Explorer ir Windows algoritma programmatūras ieviešana. Lejupielādes saites atrodas Herberta Kotsemba vietnē.<ref name="koci_download"><span class="citation">''Herbert Kociemba.'' <span lang="en">[http://kociemba.org/download.htm Download]</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span>. Дата обращения 20 июля 2013.</span></ref> 1992. gadā [[Atari ST]] personālajā datorā ar 1 MB atmiņu un 8&nbsp;MHz frekvenci algoritms ļāva atrast risinājumu, kas nepārsniedz 22 pārvietojumus 1—2 minūšu laikā.<ref name="kvant_1992_11" /><ref name="koci_imptwophase" /> Mūsdienu datorā Cube Explorer ļauj patvaļīgai konfigurācijai dažās sekundēs atrast ne vairāk kā 20 gājienus.

Pastāv algoritma tiešsaistes versija.<ref name="online_koci"><span class="citation">''Eric Dietz.'' <span lang="en">[http://rubiksolve.com Solve Your Cube In Less Than 25 Moves]</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span>. Дата обращения 20 июля 2013.</span></ref>

===== Analīze =====
Maikls Rīds 1995. gadā parādīja, ka Kotsomba algoritma pirmajai un otrajai fāzei var būt nepieciešami attiecīgi ne vairāk kā 12 un 18 gājieni (FTM). No tā izriet, ka Rubika kubu vienmēr var atrisināt 30 gājienos. Papildu analīze parādīja, ka 29f vai 42q<ref name="pochmann_thesis" /><ref name="reid_29f_42q"><span class="citation">''Michael Reid.'' <span lang="en">[http://www.math.rwth-aachen.de/~Martin.Schoenert/Cube-Lovers/michael_reid__new_upper_bounds.html new upper bounds]</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span> (Sat, 07 Jan 95 20:24:35 -0500). Дата обращения 19 июля 2013.</span></ref> vienmēr ir pietiekami.

=== Korfa algoritms ===
Kotsomba algoritms ļauj ātri atrast īsus, suboptimālus risinājumus. Tomēr atrastā risinājuma optimāluma pierādīšana var prasīt daudz laika. Bija nepieciešams specializēts algoritms optimālu risinājumu atrašanai.

1997. gadā Ričards Korfs publicēja algoritmu, kas optimāli atrisina Rubika kuba patvaļīgas konfigurācijas. Desmit izlases veidā atlasītas konfigurācijas tika izšķirtas ne vairāk kā 18 FTM gājienos.<ref name="korf_1997"><span class="citation">''Richard E. Korf.'' [http://www-compsci.swan.ac.uk/~csphil/CS335/korfrubik.pdf Finding Optimal Solutions to Rubik's Cube Using Pattern Databases] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190819052447/http://www-compsci.swan.ac.uk/~csphil/CS335/korfrubik.pdf |date={{dat|2019|08|19||bez}} }}. — 1997.</span></ref><ref>{{Ziņu atsauce|url=https://books.google.com/books?id=3aUMamjxVpMC&pg=PA58|title=Rubik's Reduced|work=[[Popular Science]]|date=1997-10|last=Arthur Fisher|pages=58|language=en}}</ref>

Pats Korfa algoritms darbojas šādi. Pirmkārt, tiek noteikti apakšuzdevumi, kas ir pietiekami vienkārši, lai veiktu pilnīgu uzskaitījumu. Tika izmantoti šādi trīs apakšuzdevumi:<ref name="pochmann_thesis" />

# Puzles stāvokli nosaka tikai astoņi stūra virsmām, malu pozīcijas un orientācija tiek ignorēta.
# Puzles stāvokli nosaka seši no 12 malas virsmām, citi bloki tiek ignorēti.
# Puzles stāvokli nosaka ''pārējās'' sešas malas virsmām.

Pārvietojumu skaits, kas nepieciešams, lai atrisinātu katru no šiem apakšuzdevumiem, ir zemāk konfigurāciju par pašu skaitu, kas vajadzīgs, lai pabeigtu risinājumu. Patvaļīgi noteikta Rubika kuba konfigurācija tiek atrisināta, izmantojot [[IDA *]] algoritmu, izmantojot šo aprēķinu kā heiristiku. Apakšuzdevumu risināšanas izmaksas tiek glabātas datu bāzes veidā ar veidnēm.<ref name="russell_norvig_adm" /><ref name="korf_1997"/>

Lai arī šis algoritms vienmēr atradīs optimālus risinājumus, tas tieši nenosaka, cik gājienu sliktākajā gadījumā var būt nepieciešams.

Algoritma ieviešana C valodā ir atrodama.<ref name="reid_solver"><span class="citation">''Michael Reid.'' <span lang="und">[http://cflmath.com/Rubik/optimal_solver.html Rubik's cube page]. Optimal Rubik's cube solver</span><span class="hidden-ref" style="display:none">''' <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на неопределённом языке">(неопр.)</span>'''</span> (October 28, 2006). Дата обращения 20 июля 2013.</span></ref>

=== Turpmākie uzlabojumi ===
2005. gadā Maikla Rīda QTM rādītājs uzlaboja Silviu Radu līdz 40q.<ref name="radu_40q"><span class="citation" id="CITEREFSilviu_Radu">Silviu Radu, "A New Upper Bound on Rubik's Cube Group", ''[[ArXiv.org|arΧiv]]:[http://www.arxiv.org/abs/math/0512485 math/0512485]''</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=A+New+Upper+Bound+on+Rubik%27s+Cube+Group&rft.title=&rft.aulast=Silviu+Radu"><span style="display: none;"> </span></span>
</ref> Silviu Radu 2006. gadā pierādīja, ka Rubika kubu var salikt ar 27f<ref name="radu_27f" /> vai 35q.<ref name="radu_35q"><span class="citation">''silviu.'' <span lang="und">[http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/50 Rubik can be solved in 35q] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190429204208/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F50 |date={{dat|2019|04|29||bez}} }}</span><span class="hidden-ref" style="display:none">''' <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на неопределённом языке">(неопр.)</span>'''</span>. Domain of the Cube Forum (03/22/2006). Дата обращения 20 июля 2013.</span></ref>

2007. gadā Daniels Cankle un Gene Cooperman izmantoja superdatoru, lai pierādītu, ka visas neatrisinātās konfigurācijas var atrisināt ne vairāk kā 26 FTM kustībās. Ideja bija apvienot Rubika kubu vienā no 15 752 [[Rubika kuba grupa|kvadrātu apakšgrupas]] konfigurācijām, kuras katru beidzot var atrisināt ar dažiem papildu gājieniem. Lielākā daļa konfigurāciju tika atrisinātas šādā veidā ne vairāk kā 26 reizes. Atlikušās konfigurācijas tika pakļautas papildu analīzei, kas parādīja, ka tās tiek atrisinātas arī 26 gājienos.<ref name="kunkle_cooperman_2007_paper" /><ref name="kunkle_cooperman_2007"><span class="citation"><span lang="und">[http://www.northeastern.edu/nupr/news/0507/rubik.html Northeastern University Researchers Solve Rubik’s Cube in 26 Moves] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191023011911/https://www.northeastern.edu/nupr/news/0507/rubik.html |date={{dat|2019|10|23||bez}} }}</span><span class="hidden-ref" style="display:none">''' <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на неопределённом языке">(неопр.)</span>'''</span>. Дата обращения 20 июля 2013.</span></ref>

Tomass Rokiki 2008. gadā publicēja [[Uz pierādījumiem balstīta skaitļošana|skaitlisku pierādījumu]] puzles atrisinājumam ar 25 FTM kustībām.<ref name="rokicki_25f">
<span class="citation" id="CITEREFTom_Rokicki">Tom Rokicki, "Twenty-Five Moves Suffice for Rubik's Cube", ''[[ArXiv.org|arΧiv]]:[http://www.arxiv.org/abs/0803.3435 0803.3435]''</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Twenty-Five+Moves+Suffice+for+Rubik%27s+Cube&rft.title=&rft.aulast=Tom+Rokicki"><span style="display: none;"> </span></span>
</ref> Rokiki 2008. gada augustā paziņoja par pierādījumu ar 23f.<ref name="rokicki_23f"><span class="citation">''rokicki.'' <span lang="und">[http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/117 Twenty-Three Moves Suffice] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130827222725/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F117 |date={{dat|2013|08|27||bez}} }}</span><span class="hidden-ref" style="display:none">''' <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на неопределённом языке">(неопр.)</span>'''</span>. Domain of the Cube Forum (04/29/2008). Дата обращения 20 июля 2013.</span></ref> Vēlāk šis rādītājs uzlabojās līdz 22f.<ref name="rokicki_22f"><span class="citation">''rokicki.'' <span lang="und">[http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/121 Twenty-Two Moves Suffice] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20111205023257/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F121 |date={{dat|2011|12|05||bez}} }}</span><span class="hidden-ref" style="display:none">''' <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на неопределённом языке">(неопр.)</span>'''</span> <span class="ref-info">(недоступная ссылка)</span>. Domain of the Cube Forum (08/12/2008). Дата обращения 20 июля 2013. [https://web.archive.org/web/20111205023257/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F121 Архивировано] 5 декабря 2011 года.</span></ref> 2009. gadā viņam izdevās parādīt veikumu ar 29 QTM gājieniem.<ref name="rokicki_29q"><span class="citation">''rokicki.'' <span lang="und">[http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/143 Twenty-Nine QTM Moves Suffice] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110726010154/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F143 |date={{dat|2011|07|26||bez}} }}</span><span class="hidden-ref" style="display:none">''' <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на неопределённом языке">(неопр.)</span>'''</span>. Domain of the Cube Forum (06/15/2009). Дата обращения 20 июля 2013.</span></ref>

2010. gadā Tomass Rokiki, Herberts Kotsomba, Morlijs Deividsons un Džons Detridžs paziņoja par pierādījumiem, ka jebkuru Rubika kuba konfigurāciju var atrisināt ne vairāk kā 20 kustībās FTM metrikā.<ref name="cube20" /><ref name="koci_performance" /> Kopā ar iepriekš zināmo apakšējo robežu 20f *, tas bija pierādījums tam, ka FTM metrikā Rubika kuba Dieva numurs ir 20.

2014. gada augustā Rokijs un Deividsons paziņoja, ka Rubika kuba Dieva numurs QTM metrikā ir 26.<ref name="cube26_qtm" /><ref name="cp4space-2015-09-25"><span class="citation">''Adam P. Goucher.'' <span lang="und">[http://cp4space.wordpress.com/2015/09/25/superflip-composed-with-fourspot/ Superflip composed with fourspot]</span><span class="hidden-ref" style="display:none">''' <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на неопределённом языке">(неопр.)</span>'''</span>. Complex Projective 4-Space (25 сентября 2015).</span></ref>

=== Antipodes meklēšana ===
Rubika kuba konfigurāciju, kas atrodas maksimālā attālumā no sākotnējās konfigurācijas, sauc par antipodi. Jebkuram antipodam FTM metrikā ir optimāls risinājums 20f *, un jebkuram antipodam QTM metrikā ir optimāls risinājums 26q *.<ref name="cube26_qtm" /><ref name="jaap_cayley_distances"><span class="citation">''Jaap Scherphuis.'' <span lang="en">[http://www.jaapsch.net/puzzles/cayley.htm#distances Cayley Graphs]. Distances</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span>. Дата обращения 4 июля 2015.</span></ref>

Ir zināms, ka FTM metrikā ir miljoniem antipodu.<ref name="cube20_hardpositions">[http://www.cube20.org/distance20s/ Known Distance-20 Positions in the Half-Turn Metric. Known Distance-24 or Greater Positions in the Quarter-Turn Metric]</ref> Viena no šīm konfigurācijām ir “Super flip”. Gluži pretēji, QTM metrikā šobrīd ir zināma tikai viena antipoda konfigurācija (neskaitot no tā iegūtās konfigurācijas pēc pagriezieniem) — “Super flip un četru punktu sastāvs” (Super flip sastāv no četriem punktiem).<ref name="reid_98_26q" /><ref name="cp4space-2015-09-25" /><ref name="jaap_cayley_distances" /><ref>{{Tīmekļa atsauce|url=http://www.randelshofer.ch/rubik/patterns/V010.01.html|title=Pretty Patterns Rubik's Cube &#124; Edge Flip, Dot &#124; Superflip, With 4 Dots}}</ref> Ir zināmas tikai divas konfigurācijas 25q * attālumā no sākotnējās konfigurācijas un apmēram 80 tūkstoši konfigurāciju 24q * attālumā.<ref name="cube26_qtm" />

=== Asimptotiskie aprēķini ===
2011. gadā tika parādīts, ka Dieva kuba ''n'' × ''n'' × ''n skaitlis'' ir [[“O” ir liels un “o” ir mazs|Θ (''n'' <sup>2</sup> / log (''n''))]].<ref name="theta2011"><span class="citation" id="CITEREFDemaineDemaineEisenstatLubiw2011">Demaine, Erik D.; Demaine, Martin L.; Eisenstat, Sarah; Lubiw, Anna &#x26; Winslow, Andrew (2011), "Algorithms for Solving Rubik's Cubes", ''[[ArXiv.org|arΧiv]]:[http://www.arxiv.org/abs/1106.5736v1 1106.5736v1]'' [cs.DS]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.atitle=Algorithms+for+Solving+Rubik%27s+Cubes&rft.title=&rft.aulast=Demaine&rft.aufirst=Erik+D.&rft.date=2011"><span style="display: none;"> </span></span>
</ref><ref name="theta2011news">
<span class="citation">''Larry Hardesty.'' <span lang="en">[http://web.mit.edu/newsoffice/2011/rubiks-cube-0629.html The math of the Rubik’s cube]. New research establishes the relationship between the number of squares in a Rubik’s-cube-type puzzle and the maximum number of moves required to solve it</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span>. MIT News Office (June 29, 2011). Дата обращения 23 июля 2013.</span></ref>

== Citas mīklas ==

=== Void Cube ===
Void Cube ir 3x3x3 Rubika kubs bez centrāliem elementiem.

FTM metrikā optimālā "Void Super flip" risinājuma garums ir 20f,<ref name="void20_cubezzz"><span class="citation">''rokicki.'' <span lang="und">[http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/171 Void cube diameter at least 20 (face turn metric)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160306102100/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F171 |date={{dat|2016|03|06||bez}} }}</span><span class="hidden-ref" style="display:none">''' <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на неопределённом языке">(неопр.)</span>'''</span>. Domain of the Cube Forum (01/19/2010). Дата обращения 28 июля 2013.</span></ref><ref name="void20_ss"><span class="citation">''rokicki.'' <span lang="und">[http://www.speedsolving.com/forum/showthread.php?18637 Void cube diameter at least 20 (probably 20)]</span><span class="hidden-ref" style="display:none">''' <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на неопределённом языке">(неопр.)</span>'''</span>. Speedsolving.com (01/19/2010). Дата обращения 28 июля 2013.</span></ref> kas ir pierādījums tam, ka ir nepieciešami 20 gājieni. Tā kā Void Cube ir ''vieglāka'' Rubika kuba ''versija'',<ref name="russell_norvig_adm" /> tad esošo 20 Rubika gājienu pierādījums var būt<ref name="cube20" /> attiecināms uz Void Cube. Tāpēc FTM metrikā Void Cube mīkla ir arī attiecināma uz Dieva algoritmu.

=== Kubs 4 × 4 × 4 ===
[[Attēls:Rubiks_revenge_scrambled.jpg|thumb|Rubik's Revenge — Rubika atriebība]]
Mīklas 4 × 4 × 4 konfigurāciju skaits ({{val|en|Rubik's Revenge}} — Rubika atriebība) ir vienāds ar<ref name="jaap_cube4"><span class="citation">''Jaap Scherphuis.'' <span lang="en">[http://www.jaapsch.net/puzzles/cube4.htm Rubik's Revenge]</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span>. Дата обращения 28 июля 2013.</span></ref>

: <math>\frac{8! \times 3^7 \times 24!^2}{4!^6 \times 24} \approx 7.40 \times 10^{45}</math>

==== Metrika 4 × 4 × 4 ====
Ir vairāki veidi, kā noteikt metriku 4 × 4 × 4 kubam. Šajā sadaļā tiek izmantota šādi apzīmējumi:

* '''q-s''' (quarter slice): vienu pagriezienu uzskata par jebkura 12 mīklas skaldņu pagriešanos par ± 90°;
* '''q-w''' (quarter twist): vienu pagriezienu uzskata par jebkura ārēja bloka (ti, ''tikai virsmu'' vai ''virsmu ar vairākiem blakus esošām skaldnēm, kas tam blakus atrodas'') pagriešanos par ± 90°;
* '''q-b''' (quarter block): vienā kustībā tiek pagriezts jebkurš ārējs vai iekšējs bloks (t.i., jebkura ''secīgu'' paralēlu slāņu secība) par ± 90° attiecībā pret pārējo mīklas daļu;
* '''h-s''', '''h-w''', '''h-b''' : līdzīgi kā iepriekšējie trīs rādītāji, izņemot to, ka ir atļautas arī 180° rotācijas.

Patvaļīgas konfigurācijas optimālā risinājuma garums '''q-b''' metrikā nav lielāks kā '''q-w''' vai '''q-s''' metrikā, jo '''q-b''' metrikā ir atļauti visi pārējo divu q-metriku gājieni. Tas pats attiecas uz h-metriku.

==== Aprēķins par Dieva kuba konfigurāciju skaitu 4 × 4 × 4 ====
2006.-2007. gadā Brūss Norskogs veica 4 × 4 × 4 kuba 5-pakāpju analīzi, līdzīgi kā Tistletwaits veiktā 4-pakāpju analīze 3 × 3 × 3 Rubika kubam. Analīzes rezultātā tika iegūtas augšējās robežas 82 kustībām metriskajā '''h-w'''<ref name="norskog_82w_67b"><span class="citation">''Bruce Norskog.'' <span lang="und">[http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/93#comment-376 New upper bounds: 82 twist turns, 67 block turns] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170909042137/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F93#comment-376 |date={{dat|2017|09|09||bez}} }}</span><span class="hidden-ref" style="display:none">''' <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на неопределённом языке">(неопр.)</span>'''</span>. Domain of the Cube Forum (08/13/2007). Дата обращения 28 июля 2013.</span></ref> 77 kustībām metriskajā '''h-s'''<ref name="norskog_77s"><span class="citation">''Bruce Norskog.'' <span lang="und">[http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/93 The 4x4x4 can be solved in 77 single-slice turns] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170909042137/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F93 |date={{dat|2017|09|09||bez}} }}</span><span class="hidden-ref" style="display:none">''' <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на неопределённом языке">(неопр.)</span>'''</span>. Domain of the Cube Forum (07/26/2007).</span></ref><ref name="pe_jaap_4x4x4"><span class="citation"><span lang="und">[http://forum.projecteuler.net/viewtopic.php?f=26&t=2155 Bigger rubik cube bound] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140529052631/http://forum.projecteuler.net/viewtopic.php?f=26&t=2155 |date={{dat|2014|05|29||bez}} }}</span><span class="hidden-ref" style="display:none">''' <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на неопределённом языке">(неопр.)</span>'''</span> <span class="ref-info">(недоступная ссылка)</span>. Project Euler. Дата обращения 28 июля 2013. [https://web.archive.org/web/20140529052631/http://forum.projecteuler.net/viewtopic.php?f=26&t=2155 Архивировано] 29 мая 2014 года.</span></ref> un 67 kustībām metriskajā '''h-b'''.

2013. gadā Šuangs Čens (陈 霜) pazemināja aprēķinu '''h-w''' metrikā no 82 līdz 57 pagriezieniem.<ref name="chen_57w"><span class="citation">''CS.'' <span lang="und">[http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/525 Solving the 4x4x4 in 57 moves(OBTM)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170909042108/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F525 |date={{dat|2017|09|09||bez}} }}</span><span class="hidden-ref" style="display:none">''' <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на неопределённом языке">(неопр.)</span>'''</span>. Domain of the Cube Forum (09/30/2013). Дата обращения 19 ноября 2013.</span></ref>

Tomass Rokiki 2015. gadā apstiprināja savu labāko rezultātu 57 '''h-w''' pagriezienos un saņēma jaunus rezultātus 56 '''h-s''' un 53 '''h-b'''.<ref name="rokicki_4x4x4_56s53b"><span class="citation">''rokicki.'' <span lang="und">[http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/541 4x4x4 upper bounds: 57 OBTM confirmed; 56 SST and 53 BT calculated.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170909042119/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F541 |date={{dat|2017|09|09||bez}} }}</span><span class="hidden-ref" style="display:none">''' <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на неопределённом языке">(неопр.)</span>'''</span>. Domain of the Cube Forum (03/03/2015). Дата обращения 1 июля 2015.</span></ref> Dažas dienas vēlāk Šuangam Čenam (陈 霜) izdevās iegūt augšējās robežas 55 '''h-w''' un 53 '''h-s''', no jauna definējot pierādīšanas posmus.<ref name="chen_4x4x4_55w"><span class="citation">''CS.'' <span lang="und">[http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/541#comment-3006 4x4x4 new upper bound: 55 OBTM] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170909042119/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F541#comment-3006 |date={{dat|2017|09|09||bez}} }}</span><span class="hidden-ref" style="display:none">''' <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на неопределённом языке">(неопр.)</span>'''</span>. Domain of the Cube Forum (03/07/2015). Дата обращения 1 июля 2015.</span></ref><ref name="chen_4x4x4_53s"><span class="citation">''CS.'' <span lang="und">[http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/541#comment-3009 4x4x4 new upper bound: 53 SSTM] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170909042119/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F541#comment-3009 |date={{dat|2017|09|09||bez}} }}</span><span class="hidden-ref" style="display:none">''' <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на неопределённом языке">(неопр.)</span>'''</span>. Domain of the Cube Forum (03/09/2015). Дата обращения 1 июля 2015.</span></ref>

2011. gadā Tomass Rokiki, balstoties uz vairākām esošām idejām, sešās metrikās noteica zemākas Dieva skaita robežas kubveida mīklām ar izmēriem no 2 × 2 × 2 līdz 20 × 20 × 20.<ref name="rokicki_lb"><span class="citation">''rokicki.'' <span lang="und">[http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/236 Lower Bounds for n x n x n Rubik's Cubes (through n=20) in Six Metrics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191020164641/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F236 |date={{dat|2019|10|20||bez}} }}</span><span class="hidden-ref" style="display:none">''' <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на неопределённом языке">(неопр.)</span>'''</span>. Domain of the Cube Forum (07/18/2011). Дата обращения 28 июля 2013.</span></ref> Rezultāti par 4 × 4 × 4 kubu ir parādīti tabulā (kopā ar zināmajām augšējām robežām).
[[Attēls:Megaminx12.jpg|thumb|12 krāsu Megaminks]]
{| class="standard"
|+ Dieva kuba konfigurāciju skaits 4 × 4 × 4
! metriskā
| '''hs'''
| '''hw'''
| '''hb'''
| '''qs'''
| '''qw'''
| '''qb'''
|-
! zemāks rezultāts
| 32
| 35
| 29
| 37
| 41
| 33
|-
! labākais rezultāts
| 53
| 55
| 53
| ?
| ?
| ?
|}

=== Megaminks ===
[[Megaminx|Megaminks]] ir vienkāršākais Rubika kuba analogs dodekaedra formā. 12 krāsu Megaminks konfigurāciju skaits ir 1,01 · 10 <sup>68</sup>.

Herberts Kotsemba 2012. gadā Megaminks noteica Dieva skaitļa apakšējo robežu, kas ir vienāda ar 45 virsmu pagriešanu uz jebkura leņķa vai 55 pagriezieniem pa aptuveni 72° leņķi.<ref name="megaminx_45h"><span class="citation">''Herbert Kociemba.'' <span lang="und">[http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/328 Megaminx needs at least 45 moves] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170723070909/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F328 |date={{dat|2017|07|23||bez}} }}</span><span class="hidden-ref" style="display:none">''' <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на неопределённом языке">(неопр.)</span>'''</span>. Domain of the Cube Forum (02/28/2012). Дата обращения 28 июля 2013.</span></ref><ref name="megaminx_45h_ss"><span class="citation">''Herbert Kociemba.'' <span lang="und">[http://www.speedsolving.com/forum/showthread.php?35724 Lower bound for Megaminx in htm and qtm]</span><span class="hidden-ref" style="display:none">''' <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на неопределённом языке">(неопр.)</span>'''</span>. Speedsolving.com (03-01-2012). Дата обращения 28 июля 2013.</span></ref> Herberts Kotsomba 2016. gadā noskaidroja Megaminks zemāko Dieva algoritma skaitu, palielinot to līdz 48 šķautņu rotācijām jebkurā leņķī.<ref>[https://www.speedsolving.com/forum/threads/lower-bound-for-megaminx-in-htm-and-qtm.35724/#post-1190421 Lower bound for Megaminx in htm and qtm]</ref>

== Atsauces ==
{{Atsauces|colwidth=30em|refs=<!-- Megaminx -->

<ref name="megaminx_45h">{{Tīmekļa atsauce |url=http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/328 |title=Megaminx needs at least 45 moves |date=02/28/2012 |publisher=Domain of the Cube Forum |author=Herbert Kociemba |accessdate=2013-07-28 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20141109172053/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F328 |archivedate=2014-11-09 }}</ref>

<ref name="megaminx_45h_ss">{{Tīmekļa atsauce |url=http://www.speedsolving.com/forum/showthread.php?35724 |date=03-01-2012 |title=Lower bound for Megaminx in htm and qtm |publisher=Speedsolving.com |author=Herbert Kociemba |accessdate=2013-07-28 }}</ref>

<!--  Jaap's Puzzle Page -->

<ref name="jaap_metric">{{Tīmekļa atsauce |url=http://www.jaapsch.net/puzzles/theory.htm#metric |title=Useful Mathematics |subtitle=Metrics |author=Jaap Scherphuis |accessdate=2013-07-17 |lang=en |archiveurl=https://web.archive.org/web/20121124002029/http://www.jaapsch.net/puzzles/theory.htm#metric |archivedate=2012-11-24 |dead-url=yes }}</ref>

<ref name="jaap_cube3">{{Tīmekļa atsauce |url=http://www.jaapsch.net/puzzles/cube3.htm |title=Rubik's Cube 3x3x3 |author=Jaap Scherphuis |accessdate=2013-07-19 |lang=en |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130728153420/http://www.jaapsch.net/puzzles/cube3.htm |archivedate=2013-07-28 |dead-url=yes }}</ref>

<ref name="jaap_godal">{{Tīmekļa atsauce |url=http://www.jaapsch.net/puzzles/theory.htm#godal |title=Useful Mathematics |subtitle=God's Algorithm |author=Jaap Scherphuis |accessdate=2013-07-17 |lang=en |archiveurl=https://web.archive.org/web/20121124002029/http://www.jaapsch.net/puzzles/theory.htm#godal |archivedate=2012-11-24 |dead-url=yes }}</ref>

<ref name="circular_5_24">{{статья | автор=David Singmaster |заглавие=Cubic Circular |ссылка=http://www.jaapsch.net/puzzles/cubic5.htm#p24 |язык=en |год=1982 |выпуск=5 & 6 |страницы=24 }}</ref>

<ref name="jaap-subgroup">{{Tīmekļa atsauce |url=http://www.jaapsch.net/puzzles/subgroup.htm |title=Cube subgroups |subtitle=Subgroups generated by face moves |author=Jaap Scherphuis |accessdate=2013-07-19 |lang=en |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130120032850/http://www.jaapsch.net/puzzles/subgroup.htm |archivedate=2013-01-20 |dead-url=yes }}</ref>

<ref name="jaap-thistle">{{Tīmekļa atsauce |url=http://www.jaapsch.net/puzzles/thistle.htm |title=Thistlethwaite's 52-move algorithm |author=Jaap Scherphuis |accessdate=2013-07-17 |lang=en }}</ref>

<ref name="jaap_kocal">{{Tīmekļa atsauce |url = http://www.jaapsch.net/puzzles/compcube.htm#kocal |title = Computer Puzzling |subtitle = Kociemba's Algorithm |author = Jaap Scherphuis |accessdate = 2013-07-23 |lang = en |archiveurl = https://web.archive.org/web/20130625160557/http://www.jaapsch.net/puzzles/compcube.htm#kocal |archivedate = 2013-06-25 }}</ref>

<ref name="jaap_cayley_distances">{{Tīmekļa atsauce |url = http://www.jaapsch.net/puzzles/cayley.htm#distances |title = Cayley Graphs |subtitle = Distances |author = Jaap Scherphuis |accessdate = 2015-07-04 |lang = en }}</ref>

<ref name="jaap_cube4">{{Tīmekļa atsauce |author=Jaap Scherphuis |title=Rubik's Revenge |url=http://www.jaapsch.net/puzzles/cube4.htm |accessdate=2013-07-28 |lang=en }}</ref>

<ref name="circular_5_26">{{статья |автор=David Singmaster |заглавие=Cubic Circular |ссылка=http://www.jaapsch.net/puzzles/cubic5.htm#p26 |язык=en |год=1982 |выпуск=5 & 6 |страницы=26 }}</ref>

<ref name="jaap_puzstats">{{Tīmekļa atsauce |url=http://www.jaapsch.net/puzzles/puzstats.htm |title=Puzzle Statistics |author=Jaap Scherphuis |accessdate=2013-07-17 |lang=en }}</ref>

<!-- Квант -->

<ref name="kvant_1992_11">{{статья |автор=В. Дубровский, А. Калинин |заглавие=Новости кубологии |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |год=1992 |номер=11 |страницы=52-56 |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1992/11/novosti_kubologii.htm }}</ref>

<ref name="kvant_1982_7">{{статья |автор=В. Дубровский |заглавие=Алгоритм волшебного кубика |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |год=1982 |номер=7 |страницы=22-25 |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1982/07/algoritm_volshebnogo_kubika.htm }}</ref>

<ref name="kvant_1982_8">{{статья |автор=В. Дубровский |заглавие=Математика волшебного кубика |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |год=1982 |номер=8 |страницы=22-27, 48 |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1982/08/matematika_volshebnogo_kubika.htm }}</ref>

<!-- Kociemba's Home Page -->

<ref name="koci_performance">{{Tīmekļa atsauce |url = http://kociemba.org/performance.htm |author = Herbert Kociemba |title = Two-Phase-Algorithm and God's Algorithm: God's number is 20 |accessdate = 2013-07-23 |lang = en |archiveurl = https://web.archive.org/web/20130502030137/http://kociemba.org/performance.htm |archivedate = 2013-05-02 |deadlink = yes }}</ref>

<ref name="koci_imptwophase">{{Tīmekļa atsauce |url=http://kociemba.org/math/imptwophase.htm |title=Two-Phase Algorithm Details |author=Herbert Kociemba |accessdate=2013-07-20 |lang=en }}</ref>

<ref name="koci_subgroupH">{{Tīmekļa atsauce |url=http://kociemba.org/math/20moves/subgroupH.html |title=The Subgroup H and its cosets |author=Herbert Kociemba |accessdate=2013-07-23 |lang=en }}</ref>

<ref name="koci_twophase">{{Tīmekļa atsauce |url=http://kociemba.org/twophase.htm |title=The Two-Phase-Algorithm |author=Herbert Kociemba |accessdate=2013-07-23 |lang=en }}</ref>

<ref name="koci_pruning">{{Tīmekļa atsauce |url=http://kociemba.org/math/pruning.htm |title=Pruning Tables |author=Herbert Kociemba |accessdate=2013-07-23 |lang=en }}</ref>

<ref name="koci_download">{{Tīmekļa atsauce |url=http://kociemba.org/download.htm |title=Download |author=Herbert Kociemba |accessdate=2013-07-20 |lang=en }}</ref>

<!-- Rokicki -->

<ref name="rokicki_25f">
{{cite arxiv
|eprint=0803.3435
|title=Twenty-Five Moves Suffice for Rubik's Cube
|author=Tom Rokicki
}}</ref>

<ref name="rokicki_23f">{{Tīmekļa atsauce
| url=http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/117
| title=Twenty-Three Moves Suffice
| publisher=Domain of the Cube Forum
| author=rokicki
| date=04/29/2008
| accessdate=2013-07-20
| archiveurl=https://web.archive.org/web/20130827222725/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F117
| archivedate=2013-08-27
}}</ref>

<ref name="rokicki_22f">{{Tīmekļa atsauce
| url=http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/121
| title=Twenty-Two Moves Suffice
| publisher=Domain of the Cube Forum
| author=rokicki
| date=08/12/2008
| accessdate=2013-07-20
| archiveurl=https://web.archive.org/web/20111205023257/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F121
| archivedate=2011-12-05
| dead-url=yes
}}</ref>

<ref name="rokicki_29q">{{Tīmekļa atsauce
| url=http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/143
| title=Twenty-Nine QTM Moves Suffice
| publisher=Domain of the Cube Forum
| author=rokicki
| date=06/15/2009
| accessdate=2013-07-20
| archiveurl=https://web.archive.org/web/20110726010154/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F143
| archivedate=2011-07-26
}}</ref>

<!-- Asymptotic bounds -->

<ref name="theta2011">{{cite arxiv | last1=Demaine | first1=Erik D. | last2=Demaine | first2=Martin L. | last3=Eisenstat | first3=Sarah | last4=Lubiw | first4=Anna | last5=Winslow | first5=Andrew | eprint=1106.5736 | title=Algorithms for Solving Rubik's Cubes | year=2011 | version=v1 | class=cs.DS}}</ref>

<ref name="theta2011news">
{{Tīmekļa atsauce
 | url = http://web.mit.edu/newsoffice/2011/rubiks-cube-0629.html
 | title = The math of the Rubik’s cube
 | subtitle = New research establishes the relationship between the number of squares in a Rubik’s-cube-type puzzle and the maximum number of moves required to solve it
 | author = Larry Hardesty
 | publisher = MIT News Office
 | date = June 29, 2011
 | accessdate = 2013-07-23
 | lang = en
}}</ref>

<!-- Прочие ссылки -->

<ref name="cube20">{{Tīmekļa atsauce |url=http://www.cube20.org |title=God's Number is 20 |author=Rokicki, T.; Kociemba, H.; Davidson, M.; and Dethridge, J. |accessdate=2013-07-19 |lang=en }}</ref>

<ref name="cube26_qtm">{{Tīmekļa atsauce |url=http://www.cube20.org/qtm |title=God's Number is 26 in the Quarter-Turn Metric |author=Rokicki, T. and Davidson, M. |accessdate=2015-07-04 |lang=en }}</ref>

<ref name="slocum2009">{{книга |автор = Jerry Slocum, David Singmaster, Wei-Hwa Huang, Dieter Gebhardt, Geert Hellings |заглавие = The Cube: The Ultimate Guide to the World's Bestselling Puzzle — Secrets, Stories, Solutions |ссылка = http://amzn.com/157912805X |год = 2009 |страниц = 142 | страницы = 26 }}</ref>

<ref name="GAP"><span class="citation">''Schönert, Martin'' <span lang="en">[http://www.gap-system.org/Doc/Examples/rubik.html Analyzing Rubik's Cube with GAP] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130120065025/http://www.gap-system.org/Doc/Examples/rubik.html |date={{dat|2013|01|20||bez}} }}</span> <span class="ref-info" style="cursor:help;" title="на английском языке">(англ.)</span>. Дата обращения 19 июля 2013.</span></ref>

<ref name="the_quest">{{Tīmekļa atsauce |url = http://digitaleditions.walsworthprintgroup.com/article/The_Quest_For_God%E2%80%99s_Number/532775/50242/article.html |title = The Quest For God’s Number |author      = Rik van Grol |date = November 2010 |accessdate = 2013-07-26 |publisher = Math Horizons |lang = en }}</ref>

<ref name="hsta">{{книга
 | автор = Stefan Edelkamp, Stefan Schrōdl
 | заглавие = Heuristic search: theory and applications
 | издательство = [[Morgan Kaufmann Publishers]]
 | год = 2012
 | страниц = 712
 | isbn = 978-0-12-372512-7
}}</ref>

<ref name="siam2013">[http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/120867366 SIAM J. Discrete Math., 27(2), 1082–1105]</ref>

<ref name="reid_msymmetric">{{Tīmekļa atsauce |url=http://cflmath.com/Rubik/m_symmetric.html |title=Michael Reid's Rubik's cube page |subtitle=M-symmetric positions |author=Michael Reid |date=May 24, 2005 |accessdate=2013-07-17 |lang=en }}</ref>

<ref name="pochmann_thesis">{{статья |автор = Stefan Pochmann |заглавие = Analyzing Human Solving Methods for Rubik’s Cube and similar Puzzles (Diploma Thesis) |ссылка = http://www.stefan-pochmann.info/hume/hume_diploma_thesis.pdf |язык = en |дата = March 29, 2008 |издание =  |archiveurl = https://web.archive.org/web/20141109173029/http://www.stefan-pochmann.info/hume/hume_diploma_thesis.pdf |archivedate = {{dat|2014|11|09||bez}} }}</ref>

<ref name="winter_92_sf">{{Tīmekļa atsauce |url=http://www.math.rwth-aachen.de/~Martin.Schoenert/Cube-Lovers/Dik_T._Winter__Kociemba%27s_algorithm_%283%29.html |title=Kociemba's algorithm |author=Dik T. Winter
|date=Mon, 18 May 92 00:49:48 +0200 |accessdate=2013-07-17 |lang=en }}</ref>

<ref name="reid_95_sf">{{Tīmekļa atsauce |url=http://www.math.rwth-aachen.de/~Martin.Schoenert/Cube-Lovers/michael_reid__superflip_requires_20_face_turns.html |title=superflip requires 20 face turns |author=Michael Reid |date=Wed, 18 Jan 95 10:13:45 -0500 |accessdate=2013-07-17 |lang=en }}</ref>

<ref name="reid_95_sf_q">{{Tīmekļa atsauce |url=http://www.math.rwth-aachen.de/~Martin.Schoenert/Cube-Lovers/michael_reid__superflip.html |title=superflip |author=Michael Reid |date=Tue, 10 Jan 95 18:57:20 -0500 |accessdate=2013-07-17 |lang=en }}</ref>

<ref name="bryan_95_sf_q">{{Tīmekļa atsauce |url=http://www.math.rwth-aachen.de/~Martin.Schoenert/Cube-Lovers/Jerry_Bryan__Qturn_Lengths_of_M-Symmetric_Positions.html |title=Qturn Lengths of M-Symmetric Positions |author=Jerry Bryan |date=Sun, 19 Feb 95 23:20:22 -0500 (EST) |accessdate=2013-07-17 |lang=en }}</ref>

<ref name="reid_98_26q">{{Tīmekļa atsauce |url=http://www.cube20.org/cubelovers/CL25/106.txt |title=superflip composed with four spot |author=Michael Reid |date=Sun, 2 Aug 1998 08:47:44 -0400 |accessdate=2015-07-04 |lang=en }}</ref>

<ref name="kaluzhnin_143">{{книга |автор = Л. А. Калужнин, В. И. Сущанский |заглавие = Преобразования и перестановки |место = М |год = 1985 |страницы = 143 |страниц = 160 }}</ref>

<ref name="singmaster_notes">{{grāmatas atsauce |author = David Singmaster |title = Notes on Rubik's Magic Cube |year = 1981 |publisher = Enslow Publishers |page = 30 }}</ref>

<ref name="cubeman_dotcs">{{Tīmekļa atsauce |author=Mark Longridge |url=http://cubeman.org/dotcs.txt |title=Progressive Improvements in Solving Algorithms |accessdate=2013-07-28 |lang=en |archiveurl=https://web.archive.org/web/20131009060245/http://cubeman.org/dotcs.txt |archivedate=2013-10-09 }}</ref>

<ref name="radu_27f">{{Tīmekļa atsauce |url=http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/53 |title=Rubik can be solved in 27f |publisher=Domain of the Cube Forum |author=silviu |date=04/01/2006 |accessdate=2013-07-20 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130827214604/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F53 |archivedate=2013-08-27 }}</ref>

<ref name="kunkle_cooperman_2007_paper">
{{cite conference
  | first = D.
  | last = Kunkle
  | coauthors = Cooperman, C.
  | title = Twenty-Six Moves Suffice for Rubik's Cube
  | booktitle = Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC '07)
  | year = 2007 
  | publisher = ACM Press
  | url = http://www.ccs.neu.edu/home/gene/papers/rubik.pdf
  | format = PDF
}}
</ref>

<ref name="kloosterman">{{Tīmekļa atsauce |url=http://www.math.rwth-aachen.de/~Martin.Schoenert/Cube-Lovers/michael_reid__an_upper_bound_on_god%27s_number.html |title=an upper bound on god's number |author=Michael Reid |date=Wed, 29 Apr 92 01:37:26 -0700 (PDT) |accessdate=2013-07-17 |lang=en }}</ref>

<ref name="bryan_notation">{{Tīmekļa atsauce
 | author = Jerry Bryan
 | title = Notational convention
 | url = http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/41#comment-270
 | date = 05/27/2006
 | accessdate = 2013-07-28
 | archiveurl = https://web.archive.org/web/20141109171944/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F41#comment-270
 | archivedate = 2014-11-09
 }}</ref>

<ref name="reid_39f_56q">{{Tīmekļa atsauce |url=http://www.math.rwth-aachen.de/~Martin.Schoenert/Cube-Lovers/michael_reid__new_upper_bound.html |title=new upper bound |author=Michael Reid |date=Fri, 22 May 92 22:56:34 -0700 (PDT) |accessdate=2013-07-19 |lang=en }}</ref>

<ref name="winter_37f">{{Tīmekļa atsauce |url=http://www.math.rwth-aachen.de/~Martin.Schoenert/Cube-Lovers/Dik_T._Winter__Corrected_calculations_are_now_done..html |title=Corrected calculations are now done. |author=Dik T. Winter |date=Thu, 28 May 92 15:00:49 +0200 |accessdate=2013-07-19 |lang=en }}</ref>

<ref name="heise_thistle">{{Tīmekļa atsauce |url=http://www.ryanheise.com/cube/human_thistlethwaite_algorithm.html |title=The Human Thistlethwaite Algorithm |author=Ryan Heise |accessdate=2013-07-19 |lang=en }}</ref>

<ref name="russell_norvig_adm">{{книга
 | автор = Стюарт Рассел, Питер Норвиг
 | часть = Составление допустимых эвристических функций
 | заглавие = Искусственный интеллект: современный подход
 | оригинал = Artificial Intelligence: A Modern Approach
 | издание = 2-е изд.
 | место = М.
 | издательство = Вильямс
 | год = 2006
 | страницы = 170 — 173
 | страниц = 1408
 | isbn = 5-8459-0887-6
}}</ref>

<ref name="online_koci">{{Tīmekļa atsauce |url = http://rubiksolve.com |title = Solve Your Cube In Less Than 25 Moves |author = Eric Dietz |accessdate = 2013-07-20 |lang = en }}</ref>

<ref name="reid_29f_42q">{{Tīmekļa atsauce |url=http://www.math.rwth-aachen.de/~Martin.Schoenert/Cube-Lovers/michael_reid__new_upper_bounds.html |title=new upper bounds |author=Michael Reid |date=Sat, 07 Jan 95 20:24:35 -0500 |accessdate=2013-07-19 |lang=en }}</ref>

<ref name="korf_1997">{{статья |автор = Richard E. Korf |заглавие = Finding Optimal Solutions to Rubik's Cube Using Pattern Databases |ссылка = http://www-compsci.swan.ac.uk/~csphil/CS335/korfrubik.pdf |год = 1997 }}</ref>

<ref name="reid_solver">{{Tīmekļa atsauce |url=http://cflmath.com/Rubik/optimal_solver.html |title=Rubik's cube page |subtitle=Optimal Rubik's cube solver |author=Michael Reid |date=October 28, 2006 |accessdate=2013-07-20 }}</ref>

<ref name="radu_40q">{{cite arxiv |eprint=math/0512485 |title=A New Upper Bound on Rubik's Cube Group |author=Silviu Radu }}</ref>

<ref name="radu_35q">{{Tīmekļa atsauce |url=http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/50 |title=Rubik can be solved in 35q |publisher=Domain of the Cube Forum |author=silviu |date=03/22/2006 |accessdate=2013-07-20 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20141109172557/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F50 |archivedate=2014-11-09 }}</ref>

<ref name="kunkle_cooperman_2007">{{Tīmekļa atsauce |url=http://www.northeastern.edu/nupr/news/0507/rubik.html |title=Northeastern University Researchers Solve Rubik’s Cube in 26 Moves |accessdate=2013-07-20 }}</ref>

<ref name="cp4space-2015-09-25">{{Tīmekļa atsauce
 |url=http://cp4space.wordpress.com/2015/09/25/superflip-composed-with-fourspot/
 |title=Superflip composed with fourspot
 |author=Adam P. Goucher
 |publisher=Complex Projective 4-Space
 |date=2015-09-25
}}</ref>

<ref name="void20_cubezzz">{{Tīmekļa atsauce |url=http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/171 |title=Void cube diameter at least 20 (face turn metric) |publisher=Domain of the Cube Forum |author=rokicki |date=01/19/2010 |accessdate=2013-07-28 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20141109172418/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F171 |archivedate=2014-11-09 }}</ref>

<ref name="void20_ss">{{Tīmekļa atsauce |url=http://www.speedsolving.com/forum/showthread.php?18637 |title=Void cube diameter at least 20 (probably 20) |publisher=Speedsolving.com |author=rokicki |date=01/19/2010 |accessdate=2013-07-28 }}</ref>
<ref name="norskog_82w_67b">{{Tīmekļa atsauce |url=http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/93#comment-376 |title=New upper bounds: 82 twist turns, 67 block turns |date=08/13/2007 |publisher=Domain of the Cube Forum |author=Bruce Norskog |accessdate=2013-07-28 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140529153815/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F93#comment-376 |archivedate=2014-05-29 }}</ref>

<ref name="norskog_77s">{{Tīmekļa atsauce |url=http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/93 |title=The 4x4x4 can be solved in 77 single-slice turns |date=07/26/2007 |publisher=Domain of the Cube Forum |author=Bruce Norskog |accesdate=2013-07-28 |access-date=2020-06-18 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170909042137/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F93 |archivedate=2017-09-09 }}</ref>

<ref name="pe_jaap_4x4x4">{{Tīmekļa atsauce |url=http://forum.projecteuler.net/viewtopic.php?f=26&t=2155 |title=Bigger rubik cube bound |publisher=Project Euler |accessdate=2013-07-28 |dead-url=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140529052631/http://forum.projecteuler.net/viewtopic.php?f=26&t=2155 |archivedate=2014-05-29 }}</ref>

<ref name="chen_57w">{{Tīmekļa atsauce |url=http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/525 |title=Solving the 4x4x4 in 57 moves(OBTM) |date=09/30/2013 |publisher=Domain of the Cube Forum |author=CS |accessdate=2013-11-19 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20131126124128/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F525 |archivedate=2013-11-26 }}</ref>

<ref name="rokicki_4x4x4_56s53b">{{Tīmekļa atsauce |url=http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/541 |title=4x4x4 upper bounds: 57 OBTM confirmed; 56 SST and 53 BT calculated. |date=03/03/2015 |publisher=Domain of the Cube Forum |author=rokicki |accessdate=2015-07-01 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150529073443/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F541 |archivedate=2015-05-29 }}</ref>

<ref name="chen_4x4x4_55w">{{Tīmekļa atsauce |url=http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/541#comment-3006 |title=4x4x4 new upper bound: 55 OBTM |date=03/07/2015 |publisher=Domain of the Cube Forum |author=CS |accessdate=2015-07-01 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150529073443/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F541#comment-3006 |archivedate=2015-05-29 }}</ref>

<ref name="chen_4x4x4_53s">{{Tīmekļa atsauce |url=http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/541#comment-3009 |title=4x4x4 new upper bound: 53 SSTM |date=03/09/2015 |publisher=Domain of the Cube Forum |author=CS |accessdate=2015-07-01 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150529073443/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F541#comment-3009 |archivedate=2015-05-29 }}</ref>

<ref name="rokicki_lb">{{Tīmekļa atsauce |url=http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node/view/236 |title=Lower Bounds for n x n x n Rubik's Cubes (through n=20) in Six Metrics |date=07/18/2011 |publisher=Domain of the Cube Forum |author=rokicki |accessdate=2013-07-28 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20141109171948/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/?q=node%2Fview%2F236 |archivedate=2014-11-09 }}</ref>}}

== Ārējās saites ==
* {{Tīmekļa atsauce|url=http://geocities.com/CapeCanaveral/4344/192.html|title=Кубик Рубика: штурм твердыни|last=Константин Кноп|access-date=2013-07-20|language=ru|archiveurl=https://web.archive.org/web/20091020022021/http://geocities.com/CapeCanaveral/4344/192.html|archivedate=2009-10-20}}
* {{Tīmekļa atsauce|url=http://digitaleditions.walsworthprintgroup.com/article/The_Quest_For_God%E2%80%99s_Number/532775/50242/article.html|title=The Quest For God’s Number|last=Rik van Grol|publisher=Math Horizons|access-date=2013-07-26|date=November 2010|language=en}}
* {{Tīmekļa atsauce|url=http://www.jaapsch.net/puzzles/|title=Jaap's Puzzle Page|last=Jaap Scherphuis|access-date=2013-07-20|language=en}}
* {{Tīmekļa atsauce|url=http://kociemba.org/cube.htm|title=Cube Explorer 5.01|last=Herbert Kociemba|access-date=2013-07-20|language=en}}
* {{Tīmekļa atsauce|url=http://cube20.org|title=God's Number is 20|last=Tomas Rokicki, Herbert Kociemba, Morley Davidson, John Dethridge|access-date=2013-07-20|language=en}}
* {{Tīmekļa atsauce|url=http://www.math.rwth-aachen.de/~Martin.Schoenert/Cube-Lovers/|title=Cube Lovers archives converted to HTML|last=Martin Schönert|access-date=2013-07-20|language=en}}
* {{Tīmekļa atsauce|url=http://cubezzz.dyndns.org/drupal/|title=Domain of the Cube Forum|last=Mark Longridge|access-date=2013-07-20|language=en|archiveurl=https://web.archive.org/web/20130922230445/http://cubezzz.dyndns.org/drupal/|archivedate=2013-09-22}}
* {{Tīmekļa atsauce|url=http://permutationpuzzles.org/rubik/webnotes/|title=Lecture notes on the mathematics of the Rubik's cube|last=W. D. Joyner|access-date=2013-07-22|language=en|archiveurl=https://www.webcitation.org/6JOd4xeFh?url=http://permutationpuzzles.org/rubik/webnotes/|archivedate=2013-09-05}}
* {{Tīmekļa atsauce|url=http://cube.stanford.edu/class/files/rokicki_cubecomp.pdf|title=Computers and the Cube (slides)|last=Tomas Rokicki|access-date=2013-07-30|date=3 November 2009|language=en}}

[[Kategorija:Kombinatorika]]
[[Kategorija:Grupu teorija]]
[[Kategorija:Meklēšanas algoritmi]]
[[Kategorija:Lapas ar nepārskatītiem tulkojumiem]]