Hipersfēra

Sfēras vispārinājumu n > 3 dimensijās sauc par hipersfēru, taču bieži vien to sauc arī vienkārši par sfēru. Tāpat kā trīs dimensijās, arī n dimensijās (jebkuram n ≥ 1) sfēra ir visu to punktu kopa, kas atrodas vienā un tajā pašā attālumā no sfēras centra. Šo attālumu sauc par sfēras rādiusu un parasti apzīmē ar r.

Hipersfēras vienādojums

Dekarta koordinātu sistēmā

Dekarta koordinātu sistēmā sfēra ar centru (a₁, a₂, …, a_n) un rādiusu r > 0 sastāv no punktiem ar koordinātēm (x₁, x₂, …, x_n), kas apmierina vienādojumu

$\sum _{i=1}^n(x_i-a_i{)}^2=r^2.$

Hipersfēriskajā koordinātu sistēmā

Sfēriskās koordinātu sistēmas vispārinājums ir hipersfēriskā koordinātu sistēma. Tajā sfēru apraksta vienādojumi

$\begin{array}{cc}{x}_1=a_1& +r\cos {\alpha }_1,\\ x_2=a_2& +r\sin {\alpha }_1\cos {\alpha }_2,\\ x_3=a_3& +r\sin {\alpha }_1\sin {\alpha }_2\cos {\alpha }_3,\\ & ⋮\\ x_{n-1}=a_{n-1}& +r\sin {\alpha }_1\sin {\alpha }_2\sin {\alpha }_3\cdots \sin {\alpha }_{n-2}\cos {\alpha }_{n-1},\\ x_n=a_n& +r\sin {\alpha }_1\sin {\alpha }_2\sin {\alpha }_3\cdots \sin {\alpha }_{n-2}\sin {\alpha }_{n-1},\end{array}$

kur parametri ${\alpha }_i$ apmierina nevienādības

$0\le {\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{n-2}\le \pi$ un $0\le {\alpha }_{n-1}<2\pi .$

Hipersfēras laukums un lodes tilpums

Virsmas laukuma elements

Virsmas laukuma elements sfērai ar rādiusu r hipersfēriskajā koordinātu sistēmā n dimensijās ir

$\begin{array}{cc}dS& =\left|\begin{array}{cccc}\frac{\partial x_1}{\partial r}& \frac{\partial x_1}{\partial {\alpha }_1}& \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial {\alpha }_{n-1}}\\ \frac{\partial x_2}{\partial r}& \frac{\partial x_2}{\partial {\alpha }_1}& \cdots & \frac{\partial x_2}{\partial {\alpha }_{n-1}}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial x_n}{\partial r}& \frac{\partial x_n}{\partial {\alpha }_1}& \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial {\alpha }_{n-1}}\end{array}\right|d{\alpha }_{1}d{\alpha }_2\cdots d{\alpha }_{n-1}\\ & =r^{n-1}\left(\prod _{i=1}^{n-2}{\sin }^{n-1-i}{\alpha }_{i}d{\alpha }_i\right)d{\alpha }_{n-1}\\ & =r^{n-1}{\sin }^{n-2}{\alpha }_1{\sin }^{n-3}{\alpha }_2\cdots \sin {\alpha }_{n-2}d{\alpha }_{1}d{\alpha }_2\cdots d{\alpha }_{n-1}.\end{array}$

Virsmas laukums

Virsmas laukumu sfērai n dimensijās var atrast ar integrāļa palīdzību:

$S=\underset{n-2}{\underbrace{\underset{{\alpha }_1=0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{{\alpha }_2=0}{\overset{\pi }{\int }}\cdots \underset{{\alpha }_{n-2}=0}{\overset{\pi }{\int }}}}\underset{{\alpha }_{n-1}=0}{\overset{2\pi }{\int }}dS.$

Integrējot iegūst

$S=\frac{2{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}{r}^{n-1}.$

Daudz vienkāršāk šo formulu ir iegūt pa tiešo (bez virsmas laukuma elementa atrašanas).

Formulas izvedums

Ieviesīsim funkciju

$f(x_1,\dots ,x_n)=e^{-(x_1^2+\cdots +x_n^2)}$

un ar A apzīmēsim vērtību integrālim, ko iegūst integrējot f no -∞ līdz +∞ visās n dimensijās:

$A=\underset{n}{\underbrace{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\cdots \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}}}{e}^{-(x_1^2+\cdots +x_n^2)}d{x}_1\cdots d{x}_n={\left(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx\right)}^n.$

Funkcijas f vērtība ir atkarīga tikai no vektora (x₁, x₂, …, x_n) garuma r, tāpēc tā ir konstanta uz jebkuras sfēras, kas novietota koordinātu sākumpunktā. Ja sfēras rādiuss ir r, tad funkcija f pieņem vērtību exp(−r²) uz tās virsmas. Ievērosim, ka n dimensijās sfērai ar rādiusu r virsmas laukums S ir proporcionāls vienības sfēras laukumam s jeb S = srⁿ⁻¹. Tātad tilpuma elements ir dV = srⁿ⁻¹dr. Tas nozīmē, ka lielumu A var aprēķināt arī šādi:

$A=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}s{r}^{n-1}dr.$

Izteiksim šos integrāļus izmantojot Gamma funkciju. Gamma funkciju no z > 0 definē ar integrāļa palīdzību:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{r}^{2z-1}{e}^{-r^2}dr,$

kur otrā izteiksme ir iegūta ar substitūciju t = r². Ievērosim, ka

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}dr=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx.$

Tātad pirmajā gadījumā lielumu A var izteikt pavisam vienkāršā veidā:

$A=\left(\mathrm{\Gamma }\right(\frac{1}{2}){)}^n=(\sqrt{\pi }{)}^n.$

Otrajā gadījumā lielumu A var izteikt šādi:

$A=\frac{s}{2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right).$

Pielīdzinot abas izteiksmes atrodam vienības sfēras laukumu s:

$s=\frac{2{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}.$

Tātad laukums sfērai ar rādiusu r ir

$S=\frac{2{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{r}^{n-1}.$

Laukums un tilpums lodei n dimensijās

n	S	V
1	$2$	$2r$
2	$2\pi r$	$\pi r^2$
3	$4\pi r^2$	$\frac{4}{3}\pi r^3$
4	$2{\pi }^2{r}^3$	$\frac{1}{2}{\pi }^2{r}^4$
5	$\frac{8}{3}{\pi }^2{r}^4$	$\frac{8}{15}{\pi }^2{r}^5$
6	${\pi }^3{r}^5$	$\frac{1}{6}{\pi }^3{r}^6$
7	$\frac{16}{15}{\pi }^3{r}^6$	$\frac{16}{105}{\pi }^3{r}^7$
8	$\frac{1}{3}{\pi }^4{r}^7$	$\frac{1}{24}{\pi }^4{r}^8$
9	$\frac{32}{105}{\pi }^4{r}^8$	$\frac{32}{945}{\pi }^4{r}^9$

Lodes tilpums

Tilpumu n-dimensionālai lodei ar rādiusu r atrod integrējot:

$V=\underset{0}{\overset{r}{\int }}Sdr=\frac{rS}{n}.$

Izmantojot Gamma funkcijas īpašību $\frac{n}{2}\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})=\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)$, iegūst

$V=\frac{{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}{r}^n.$

Izteiksmes bez Gamma funkcijas

Veseliem un pusveseliem argumentiem Gamma funkciju var izteikt attiecīgi ar faktoriāla un dubultfaktoriāla palīdzību. Tad laukuma S izteiksmi var pārrakstīt šādi:

$S=\{\begin{array}{cc}\frac{2{\pi }^{\frac{n}{2}}}{(\frac{n}{2}-1)!}{r}^{n-1}& n\text{ pāra},\\ \frac{2^{\frac{n+1}{2}}{\pi }^{\frac{n-1}{2}}}{(n-2)!!}{r}^{n-1}& n\text{ nepāra},\end{array}$

bet tilpuma V izteiksmi var pārrakstīt šādi:

$V=\{\begin{array}{cc}\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\left(\frac{n}{2}\right)!}{r}^n& n\text{ pāra},\\ \frac{2^{\frac{n+1}{2}}{\pi }^{\frac{n-1}{2}}}{n!!}{r}^n& n\text{ nepāra}.\end{array}$

Hipersfēra un lode mazās dimensijās

1. nogrieznis, divi punkti
2. riņķis, riņķa līnija
3. lode, sfēra

Skatīt arī

• Riņķa līnija
• Sfēra

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Hypersphere, MathWorld.
• Howard Haber, The volume and surface area of an n-dimensional hypersphere, lekcijas konspekts.
• Al Lehnen, Properties of Spherical Coordinates in n Dimensions.