Trigonometrisko funkciju integrēšana

Trigonometrisko funkciju integrēšana ir apgrieztā darbība trigonometrisko funkciju atvasināšanai (tiek meklēta tāda funkcija, kuru atvasinot iegūst sākotnēji doto funkciju).

Nenoteiktais integrālis

Apskatīsim vispārīgu metodi, kā noteikt integrāli

$\int {\sin }^{p}x{\cos }^{q}x\mathrm{d}x,$

kur p un q ir reāli skaitļi, no kuriem vismaz viens ir pozitīvs nepāra skaitlis. Piemēram, p = 2n + 1, kur n ir naturāls skaitlis vai nulle. Izmantojot sakarību

${\sin }^{p}x\mathrm{d}x={\sin }^{2n+1}x\mathrm{d}x=({\sin }^{2}x{)}^n\sin x\mathrm{d}x=-(1-{\cos }^{2}x{)}^n\mathrm{d}(\cos x),$

integrāli pārveido šādi:

$\int {\sin }^{p}x{\cos }^{q}x\mathrm{d}x=-\int (1-{\cos }^{2}x{)}^n{\cos }^{q}x\mathrm{d}(\cos x).$

Pēc iekavu atvēršanas tiek iegūta summa no šāda tipa integrāļiem:

$\int {\cos }^{m}x\mathrm{d}(\cos x)=\frac{{\cos }^{m+1}x}{m+1}+C.$

Līdzīgi var apskatīt arī gadījumu, kad q = 2n′ + 1, kur n′ ir naturāls skaitlis vai nulle.

Piemērs

Lai aprēķinātu integrāli

$\int \frac{{\cos }^{3}x\mathrm{d}x}{\sqrt{\sin x}},$

izmanto sakarību

${\cos }^{3}x\mathrm{d}x={\cos }^{2}x\cos x\mathrm{d}x=(1-{\sin }^{2}x)\mathrm{d}(\sin x).$

Sekojot vispārīgajai metodei, iegūst

$\begin{array}{cc}\int \frac{{\cos }^{3}x\mathrm{d}x}{\sqrt{\sin x}}& =\int (1-{\sin }^{2}x){\sin }^{-\frac{1}{2}}x\mathrm{d}(\sin x)\\ & =\int {\sin }^{-\frac{1}{2}}x\mathrm{d}(\sin x)-\int {\sin }^{\frac{3}{2}}x\mathrm{d}(\sin x)\\ & =\frac{{\sin }^{\frac{1}{2}}x}{\frac{1}{2}}-\frac{{\sin }^{\frac{5}{2}}x}{\frac{5}{2}}+C\\ & =2\sqrt{\sin x}-\frac{2}{5}{\sin }^{2}x\sqrt{\sin x}+C.\end{array}$

Skatīt arī

• Integrālis
• Trigonometriskās funkcijas

Ārējās saites

• Vitolds Gedroics, 1.7. Trigonometrisko funkciju integrēšana, lekciju materiāli (Daugavpils Universitāte, 2002).
• Nalaļja Budkina, Trigonometrisku funkciju integrēšanaVeidne:Novecojusi saite, lekciju materiāli (Rīgas Tehniskā universitāte, 2008).
• Pēteris Daugulis, Trigonometrisku funkciju integrēšana Veidne:Webarchive, 12. lpp., lekciju materiāli (Rēzeknes Augstskola, 2004).