Teilora rinda

Pieaugot atvasināto polinomu skaitam, Teilora rinda tuvojas oriģinālajai funkcijai. Attēlā redzams, kā var aptuvenot sin(x) funkciju, izmantojot 1., 3.., 5., 7., 9., 11., 13. pakāpes polinomus, kad x = 0

Teilora rinda, kas izvirzīta ap punktu $x=0$ tuvojas eksponenfunkcijas grafikam

Teilora rinda matemātikā ir funkcijai, kam punktā a eksistē visu kārtu atvasinājumi, piekārtota rinda, kuras parciālsummas ir polinomi. Šo rindu 1715. gadā publicējis angļu matemātiķis Bruks Teilors (Brook Taylor).

Teilora rindu pieraksta šādi:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots ,$

kur $n!$ ir n faktoriāls un $f^{(n)}(a)$ ir funkcijas $f$ n-tās kārtas atvasinājums punktā a.

Gadījumā, ja a = 0, tad šo rindu sauc par Maklorena rindu (nosaukta skotu matemātiķa Kolina Maklorena (Colin Maclaurin) vārdā).

Funkciju izvirzījumi pakāpju rindās

Pieņemsim, ka eksistē pakāpju rinda $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$, kas intervālā $x\in (-R,R)$ konverģē uz funkciju $f(x)$. Tad iespējams pierādīt, ka šīs rindas koeficienti ir $a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(n=0,1,2,...)$.

Pierādījuma skice

Izrakstot rindu:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+...+a_n{x}^n+...$, ievietojot $x=0$ iegūst $f(0)=a_0$

$f^{\prime }(x)=a_1+2a_{2}x+3a_3{x}^2+...+n{a}_n{x}^{n-1}+...$, ievietojot $x=0$ iegūst $f^{\prime }(0)=a_1$

Šo procesu turpinot iegūst citas atvasinājumu vērtības: $f^{″}(0)=2a_2$, $f^{‴}(0)=3\cdot 2\cdot a_3$, $f^{(4)}(0)=4\cdot 3\cdot 2\cdot a_4$, $f^{(n)}(0)=n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot 2\cdot 1\cdot a_n$, līdz ar to

$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(n=0,1,2,...)$.

Šo izvirzījumu rindā sauc par Teilora rindu ap punktu $x=0$, ir iespējams izvirzīt rindu ap citiem punktiem, bet šis pierādījums to neapskata.

Dažu funkciju izvirzījumi Maklorena rindā

Eksponentfunkcija:

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \text{ visiem }x$

Naturāllogaritms:

$\ln (1-x)=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}\text{, kur }|x|<1$

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}\text{, kur }|x|<1$

Ģeometriskā rinda:

$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n\text{, kur }|x|<1$

Binomiālā rinda:

$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n\text{ visiem }|x|<1\text{ un kompleksajiem }\alpha$

ar vispārinātiem binomiālkoeficientiem

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})=\prod _{k=1}^n\frac{\alpha -k+1}{k}=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}$

Trigonometriskās funkcijas:

$\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots \text{ visiem }x$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots \text{ visiem }x$

$\tan x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}{x}^{2n-1}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots \text{, kur }|x|<\frac{\pi }{2}$

$\sec x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}\text{, kur }|x|<\frac{\pi }{2}$

$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}\text{, kur }|x|\le 1$

$\arccos x=\frac{\pi }{2}-\arcsin x=\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}\text{, kur }|x|\le 1$

$\arctan x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}\text{, kur }|x|\le 1,x=\pm i$

Hiperboliskās funkcijas:

$\sinh x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots \text{ visiem }x$

$\cosh x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots \text{ visiem }x$

$\tanh x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}{4}^n(4^n-1)}{(2n)!}{x}^{2n-1}=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5-\frac{17}{315}{x}^7+\cdots \text{, kur }|x|<\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}\text{, kur }|x|\le 1$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\text{, kur }|x|\le 1,x=\pm 1$