Trijstūru vienādības pazīmes

Saskaņā ar vienādu figūru definīciju divus trijstūrus sauc par vienādiem, ja tos var uzlikt vienu otram virsū un tie pilnīgi sakrīt. To pieraksta $△ABC=△DMK$ un tas nozīmē, ka trijstūri ABC un DMK ir vienādi.

1.zīm. Trijstūri ABC un DMK ir vienādi

Vienādiem trijstūriem piemīt visas vienādu figūru īpašības. Vienādu trijstūru virsotnes, malas un leņķus, kuri uzliekot vienu virs otra sakrīt, sauc par atbilstošiem elementiem. Līdz ar to var secināt, ka vienādu trijstūru atbilstošie elementi ir savstarpēji vienādi, piemēram, 1. zīmējumā $AB=MD,AC=KD,CB=MK,\sphericalangle A=\sphericalangle D,\sphericalangle B=\sphericalangle M,\sphericalangle C=\sphericalangle K$. Turklāt vienādos trijstūros pret vienādām malām atrodas vienādi leņķi, bet pret atbilstošiem leņķiem — vienādas malas.

Pamatot trijstūru vienādību ar savietošanu ir apgrūtinoši un dažkārt pat neiespējami, tāpēc parasti šo procesu iztēlojas un papildina ar spriedumiem, kas pamato trijstūru pilnīgu sakrišanu. Starp šiem spriedumiem ir tādi, kas tiek lietoti ļoti bieži. Ģeometrijā tiem ir īpašs nosaukums — trijstūru vienādības pazīmes. Tiek izdalītas trīs pazīmes:

• viena mala un leņķi pie tās jeb leņķis-mala-leņķis (lml)
• divas malas un leņķis starp tām jeb mala-leņķis-mala (mlm)
• trīs malas jeb mala-mala-mala (mmm)

Ievēro, ka katrā pazīmē tiek minēts vismaz viens malu pāris, turklāt ļoti būtisks ir pazīmēs minēto vienādo malu un leņķu novietojums trijstūros.

Pazīme leņķis-mala-leņķis

Teorēma: "Ja viena trijstūra mala un tās pieleņķi ir attiecīgi vienādi ar otra trijstūra malu un tās pieleņķiem, tad trijstūri ir vienādi."

Trijstūru vienādības pazīme — lml

Teorēmas pierādījums

Teorēma lml (trijstūru vienādības pazīme pēc malas un tās pieleņķiem)

Dots:

$△ABC$ un $△DMK$ , $\sphericalangle A=\sphericalangle D$, $\sphericalangle C=\sphericalangle K$, $AC=DK$

Jāpierāda:

$△ABC=△DMK$

Pierādījums.

1. Novietosim abus trijstūrus tā, ka to malas AC un DK atrodas uz vienas taisnes t, bet virsotnes B un M atrodas vienā pusē t.
2. Bīdot DK pa taisni t, savietosim vienādos nogriežņus AC un DK.
3. Tā kā $\sphericalangle A$ = $\sphericalangle D$, tad pēc savietošanas stari AB un DM sakrīt, jo vienā pusplaknē var atlikt tikai vienu leņķi, kas vienāds ar doto leņķi.
4. Tāpat pēc savietošanas sakrīt stari CB un KM.
5. Tāpēc staru AB un CB krustpunkts B sakrīt ar staru DM un KM krustpunktu M.
6. Tātad sakrīt abu trijstūru malas un tātad arī paši trijstūri.
7. Saskaņā ar vienādu figūru definīciju $△ABC=△DMK$, k. b. j.

Pazīme mala-leņķis-mala

Teorēma: "Ja viena trijstūra divas malas un leņķis starp tām ir attiecīgi vienādas ar otra trijstūra divām malām un leņķi starp tām, tad trijstūri ir vienādi."

Trijstūru vienādības pazīme — mlm

Teorēmas pierādījums

Teorēma mlm (trijstūru vienādības pazīme pēc divām malām un leņķa starp tām)

Dots:

$△ABC$ un $△DMK$ , $\sphericalangle A=\sphericalangle D,AB=DM,AC=DK$

Jāpierāda:

$△ABC=△DMK$

Pierādījums.

1. Novietosim abus trijstūrus tāpat kā iepriekšējās teorēmas pierādījumā ar $△DMK$ bīdīšanu savietosim vienādos nogriežņus AC un DK.
2. Tā kā $\sphericalangle A=\sphericalangle D$, tad stari AB un DM sakritīs.
3. Kā zināms, uz stara no tā sākumpunkta var atlikt tikai vienu nogriezni, kas vienāds ar doto nogriezni, tāpēc sakritīs malas AB un DM, kā arī punkti B un M.
4. Tā kā caur diviem punktiem var novilkt tikai vienu taisni, tad sakritīs arī BC un MK.
5. Tātad $△ABC=△DMK$, k. b. j.

Pazīme mala-mala-mala

Teorēma: "Ja viena trijstūra trīs malas ir attiecīgi vienādas ar otra trijstūra trim malām, tad trijstūri ir vienādi."

Trijstūru vienādības pazīme — mmm

Teorēmas pierādījums

Teorēma mmm (trijstūru vienādības pazīme pēc trim malām)

Dots:

$△ABC$ un $△DMK$, $AC=DK,AB=DM,BC=MK$

Jāpierāda:

$△ABC=△DMK$

Pierādījums.

1. Novietosim dotos trijstūrus tāpat kā abu iepriekšējo teorēmu pierādījumos.
2. Tajā pusplaknē, kurā atrodas šie trijstūri, virsotne B ir r.l.(A ; AB) un r.l.(C ; CB) krustpunkts.
3. Tā kā $AB=DM$ un $CB=KM$, tad virsotne M ir attiecīgi šīm riņķa līnijām vienādo riņķa līniju r.l.(D ; DM) un r.l.(K ; KM) krustpunkts.
4. Bīdot $△DMK$, savietosim vienādos nogriežņus AC un DK.
5. Pēc savietošanas sakritīs arī vienādās riņķa līnijas — r.l.(A ; AB) un r.l.(D ; DM), kā arī vienādās riņķa līnijas — r.l.(C ; CB) un r.l.(K ; KM).
6. Tā kā apskatāmajā pusplaknē divām riņķa līnijām ir tikai viens krustpunkts, tad sakritīs arī punkti B un M.
7. Ja sakrīt divu nogriežņu galapunkti, tad sakrīt arī paši nogriežņi, t.i., sakritīs AB ar DM un BC ar MK.
8. Tātad sakritīs arī paši trijstūri, t.i., $△ABC=△DMK$, k. b. j.

Trijstūru vienādības pazīmju pielietošana uzdevumu risināšanā

Viens no galvenajiem paņēmieniem nogriežņu un leņķu vienādības pierādīšanai būs trijstūru vienādības pazīmes. Visi attiecīgie pierādījumi pamatosies uz to, ka vienādos trijstūros atbilstošie elementi ir savstarpēji vienādi.

Pierādot nogriežņu vai leņķu vienādību saskaņā ar trijstūru vienādības pazīmēm, parasti ievēro šādu shēmu:

1. izveido zīmējumu saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem, ja zīmējums nav dots,
2. atdod zīmējumā divus trijstūrus, kuru elementi ir tie nogriežņi vai leņķi, kuru vienādība ir jāpierāda,
3. šajos trijstūros nosaka trīs atbilstošo elementu pārus, kas dod iespēju pielietot vienu no trijstūru vienādības pazīmēm,
4. secina, ka abi trijstūri ir vienādi,
5. secina, ka šo trijstūru atbilstošie elementi ir savstarpēji vienādi.

Ja abi vienādie trijstūri ir tādi, ka mūs interesējošie nogriežņi vai leņķi atbilst viens otram, tad šo nogriežņu vai leņķu vienādību esam pierādījuši.

Dotajā shēmā 2. un 3. punktā tiek "meklēta" piemērota trijstūru vienādības pazīme, bet 4. un 5. punktā tiek pielietota šī pazīme un vienādu trijstūru īpašība, ka to atbilstošie elementi it vienādi savā starpā.

Uzdevuma risināšanas piemērs, izmantojot doto shēmu

Uzdevums. Punkts A ir nogriežņa BC un MD viduspunkts. Pierādīt, ka nogriežņi MB un DC ir vienādi.

Risināšanas plāns.

1. Veidojam zīmējumu.
2. Nogriežņi MB un DC ir malas $△MAB$ un $△DAC$.
3. Saskaņā ar uzdevuma nosacījumiem šajos trijstūros var atzīmēt divus vienādus malu pārus — $AM=AD$ un $AB=AC$. Tātad trešais elementu pāris var būt vai nu mala MB un DC (pazīme mmm), vai arī leņķi starp vienādajām malām $\sphericalangle MAB$ un $\sphericalangle DAC$ (pazīme mlm). Tā kā malu MB un DC vienādība ir jāpierāda, tad, lai pierādītu trijstūru vienādību, ir jāatrod vienādo leņķu pāris.

Dots:

A viduspunkts BC un MD

Jāpierāda:

$MB=DC$

Pierādījums.

1. $△MAB$ un $△DAC$
   1. $AB=AC$, jo A ir BC viduspunkts
   2. $AM=AD$, jo A ir MD viduspunkts
   3. $\sphericalangle MAB=\sphericalangle DAC$ kā krustleņķi
2. $△MAB=△DAC$ (pazīme mlm)
3. $BM=CD$ kā atbilstošās malas, k. b. j.

Skatīt arī

• Trijstūris