Elektromagnētiskā lauka potenciāls

Elektromagētisko lauku var raksturot ar diviem lauka potenciāliem: skalāro potenciālu $\phi$ un vektorpotenciālu $\overrightarrow{A}$.

$\phi$ ir līdzīgs potenciālam mehānikā: potenciāla spēka $\overrightarrow{F}$ laukam ir potenciāls $\phi$ un $\overrightarrow{F}=\mathrm{grad}\phi$, bet potenciālā enerģija $U=-\phi$. Potenciāls $\phi$ (vai potenciālā enerģija $U$) spēka lauku $\overrightarrow{F}$ nosaka viennozīmīgi, bet apgrieztais apgalvojums nav pareizs - zinot spēka lauku, potenciālu viennozīmīgi nevar atrast. Potenciāli $\phi$ un ${\phi }^{\prime }=\phi +\mathrm{const}$ atbilst vienam un tam pašam spēka laukam, jo ${\overrightarrow{F}}^{\prime }=\mathrm{grad}{\phi }^{\prime }=\overrightarrow{F}$.

Elektromagnētiskā lauka potenciāla pielietojums

Elektromagnētiskā lauka potenciālus $\phi$ un $\overrightarrow{A}$ lieto galvenokārt lauka aprēķinos. Izmantojot potenciālus, nav jārisina Maksvela parciālo diferenciālvienādojumu sistēma, jo lauka atrašana var reducēt uz problēmu, kura biežāk risināma vienkāršāk, t.i., uz potenciālu vienādojumu risināšanu, ievērojot atbilstošus robežnosacījumus. Ja potenciāli ir zināmi, aprēķināt elektriskā lauka intensitāti $\overrightarrow{E}$ un magnētiskā lauka indukciju $\overrightarrow{B}$ var viegli.

Elektromagnētiskā lauka aprēķināšana, izmantojot potenciālus

Elektromagnētiskā lauka potenciālus izvēlas tā, lai tie apmierinātu homogēnos Maksvela vienādojumus:

$\{\begin{array}{c}\mathrm{rot}\overrightarrow{E}=-{\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\\ \mathrm{div}\overrightarrow{B}=0\end{array}$.

Var pārliecināties, ka šie vienādojumi ir apmierināti, ja $\phi$ un $\overrightarrow{A}$ definē, izmantojot sakarības

$\{\begin{array}{c}\overrightarrow{E}=-\mathrm{grad}\phi -{\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}\\ \overrightarrow{B}=\mathrm{rot}\overrightarrow{A}\end{array}$.

Tiešām, ievietojot pirmajā Maksvela vienādojumā lielumu $\overrightarrow{E}$ saskaņā ar $\overrightarrow{E}=-\mathrm{grad}\phi -{\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}$, atrodam, ka

$-\mathrm{rot}\mathrm{grad}\phi -{\mu }_0{ϵ}_0\mathrm{rot}\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}=-{\mu }_0{ϵ}_0\mathrm{rot}\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}$,

kur vienādojuma labajā pusē mainīta atvasināšana pēc koordinātām un laika. Tā kā $\mathrm{rot}\mathrm{grad}\phi =0$, esam ieguvuši identitāti. Līdzīgi pārliecinamies, ka pastāv identitāte

$\mathrm{div}\overrightarrow{B}=\mathrm{div}\mathrm{rot}\overrightarrow{A}=0$,

jo magnētiskais lauks ir solenoidāls un tam vienmēr eksistē vektorpotenciāls $\overrightarrow{A}$ (formula $\overrightarrow{B}=\mathrm{rot}\overrightarrow{A}$).

Potenciālu izvēle nav viennozīmīga

Izteiksmes

$\{\begin{array}{c}\overrightarrow{E}=-\mathrm{grad}\phi -{\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}\\ \overrightarrow{B}=\mathrm{rot}\overrightarrow{A}\end{array}$

vektoru $\overrightarrow{E}$ un $\overrightarrow{B}$ laukus nosaka viennozīgi. Tomēr potenciālu $\phi$ un $\overrightarrow{A}$ izvēle nav viennozīmīga: eksistē bezgalīgi daudz potenciālu ${\phi }^{\prime }$ un ${\overrightarrow{A}}^{\prime }$, kuri definē vienus un tos pašus laukus $\overrightarrow{E}$ un $\overrightarrow{B}$. Izvēloties patvaļīgu, nepārtrauktu un vismaz divreiz diferencējamu skalāru funkciju $f$ un definēsim jaunus potenciālus

${\phi }^{\prime }=\phi -{ϵ}_0{\mu }_0\frac{\partial f}{\partial t}$

un

${\overrightarrow{A}}^{\prime }=\overrightarrow{A}+\mathrm{grad}f$.

Šīs formulas ir potenciālu gradientās transformācijas.