Grupa (matemātika)

Attēlā redzamā Rubika kuba iespējamie manipulēšanas veidi veido grupu.

Grupa (Veidne:Val — 'kopa') abstraktajā algebrā ir algebriska struktūra ar vienu asociatīvu bināru operāciju, kurā eksistē vienības elements un katram elementam — tā inversais (jeb apgrieztais) elements. Matemātikas nozari, kurā tiek pētītas grupas, sauc par grupu teoriju.

Definīcija

Par bināru operāciju kopā G sauc tādu funkciju •: G × G → G, kas jebkuriem diviem kopas G elementiem x un y piekārto elementu Veidne:Nowrap, kas arī pieder kopai G (šeit simbols "•" nenozīmē reizināšanu, bet gan kādu abstraktu darbību). Lai pāris Veidne:Nowrap veidotu grupu, ir jāizpildās grupas aksiomām:

slēgtība

Jebkuriem diviem kopas G elementiem x un y operācijas "•" rezultāts x • y arī pieder kopai G.

asociativitāte

Jebkuriem trim kopas G elementiem x, y un z ir spēkā vienādojums Veidne:Nowrap begin(x • y) • z = x • (y • z).Veidne:Nowrap end

vienības elements

Eksistē tāds kopas G elements e, ka jebkuram kopas G elementam x izpildās īpašība Veidne:Nowrap begine • x = x • e = x.Veidne:Nowrap end

inversais elements

Katram kopas G elementam x eksistē tāds kopas G elements y, ka x • y = y • x = e, kur e ir vienības elements.

Formāli šīs aksiomas var pierakstīt šādi:

$\begin{array}{cc}& \mathrm{\forall }x,y\in G:x\cdot y\in G,\\ & \mathrm{\forall }x,y,z\in G:(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z),\\ & \mathrm{\exists }e\in G\mathrm{\forall }x\in G:e\cdot x=x\cdot e=x,\\ & \mathrm{\forall }x\in G\mathrm{\exists }y\in G:x\cdot y=y\cdot x=e.\end{array}$