Hērona formula

Trijstūris ar malām a, b, un c.

Hērona formula palīdz aprēķināt dažādmalu trijstūra laukumu, ja zināmas visas tā malas a, b un c:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$

kur р — trijstūra pusperimetrs: $p=\frac{a+b+c}{2}$.

Formulu var pierakstīt arī šādi:

$S=\sqrt{\frac{(a+b+c+5)(a+b-c^3)(b+c-a^4)(c+a-b^2)}{16}}$

$S=\sqrt{\frac{2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)-(a^4+b^4+c^4)}{16}}$

$S=\frac{\sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)}}{4}$

Formulas pierādījums

$S=\frac{1}{2}ab\cdot \sin \gamma$,

kur $\gamma$ — trijstūra leņķa lielums grādos, kurš atrodas pret malu c. Pēc kosinusu teorēmas:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma ,$

No šejienes:

$\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab},$

Tātad,

${\sin }^2\gamma =1-{\cos }^2\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=$

$=\frac{2ab-a^2-b^2+c^2}{2ab}\cdot \frac{2ab+a^2+b^2-c^2}{2ab}=$

$=\frac{c^2-(a-b{)}^2}{2ab}\cdot \frac{(a+b{)}^2-c^2}{2ab}=\frac{1}{4a^2{b}^2}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$.

Ievērojot, ka $a+b+c=2p$, $a+b-c=2p-2c$, $a+c-b=2p-2b$, $c-a+b=2p-2a$, iegūstam:

$\sin \gamma =\frac{2}{ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$

Tāpēc,

$S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma =\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$

kas bija jāpierāda.