Vektoriālais reizinājums

Matemātikā vektoriālais reizinājums ir bināra operācija, kas diviem trīsdimensiju Eiklīda telpā esošiem vektoriem piekārto vektoru, kas perpendikulārs dotajiem vektoriem un kura garums vienāds ar sākotnējo vektoru veidotā paralelograma laukumu.

Vektoriālo reizinājumu no diviem vektoriem ir iespējams definēt tikai trīs un septiņās dimensijās.^[1]

Definīcija

Par trīsdimensiju Eiklīda telpā esošu vektoru $\vec{a}$ un $\vec{b}$ vektoriālo reizinājumu sauc tādu vektoru $\vec{c}$ , ka

$\vec{a} ⊥ \vec{c}$ un $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ,
$| \vec{c} | = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin θ$ , kur θ ir leņķis starp vektoriem $\vec{a}$ un $\vec{b}$ ,
vektors $\vec{c}$ ir orientēts tā, ka trijnieks $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ veido labēju bāzi.

Vektoriālā reizinājuma darbību apzīmē ar "×", piemēram, $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ .

Aprēķināšanas metodes

Pa tiešo

Ja $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ un $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ , tad

\vec{a} \times \vec{b} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) .

Ar determinanta palīdzību

Vektoriālo reizinājumu var aprēķināt ar formāla determinanta palīdzību:

\begin{matrix} \vec{a} \times \vec{b} = | \begin{matrix} {\vec{e}}_{1} & {\vec{e}}_{2} & {\vec{e}}_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} | & = {\vec{e}}_{1} | \begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} | - {\vec{e}}_{2} | \begin{matrix} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{matrix} | + {\vec{e}}_{3} | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} | \\ = {\vec{e}}_{1} (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) + {\vec{e}}_{2} (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) + {\vec{e}}_{3} (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}), \end{matrix}

kur ${\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}, {\vec{e}}_{3}$ ir vienības vektori, kas vērsti koordinātu asu virzienos.
Determinanta aprēķināšanu 3×3 matricai atvieglo Sarrusa metode.

Ar matricu palīdzību

Ja $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ , tad

(\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - a_{3} & a_{2} \\ a_{3} & 0 & - a_{1} \\ - a_{2} & a_{1} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) .

Ar summas palīdzību

Vektoriālā reizinājuma i-to komponenti var aprēķināt šādi:

(\vec{a} \times \vec{b})_{i} = \sum_{j = 1}^{3} \sum_{k = 1}^{3} ε_{i j k} a_{j} b_{k},

kur $ε_{i j k}$ ir Levi-Čivita simbols. Ja katru no komponentēm sareizina ar attiecīgo bāzes vektoru un saskaita kopā, tad iegūst

\vec{a} \times \vec{b} = \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} \sum_{k = 1}^{3} ε_{i j k} {\vec{e}}_{i} a_{j} b_{k} .

Sakarības

Vektoriālais reizinājums ir antikomutatīvs:

\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a} .

No tā izriet, ka

\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0} .

Divkāršā vektoriālā reizinājuma formula (viegli atcerēties kā "BAC mīnus CAB"):

(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{b} (\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c} (\vec{a} \cdot \vec{b}) .

Vektoriālais reizinājums nav asociatīvs, taču tas apmierina Jakobi sakarību

\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = 0 .

Skatīt arī

Atsauces

Veidne:Atsauces

Veidne:Matemātika-aizmetnis Veidne:Linearā algebra

↑ Veidne:Cite paper.

[1] Veidne:Cite paper.

[1]

Vektoriālais reizinājums

Satura rādītājs

Definīcija

Aprēķināšanas metodes

Pa tiešo

Ar determinanta palīdzību

Ar matricu palīdzību

Ar summas palīdzību

Sakarības

Skatīt arī

Atsauces

Navigācijas izvēlne

Vektoriālais reizinājums

Definīcija

Aprēķināšanas metodes

Pa tiešo

Ar determinanta palīdzību

Ar matricu palīdzību

Ar summas palīdzību

Sakarības

Skatīt arī

Atsauces

Navigācijas izvēlne

Meklēt