Atvasinājums

Atvasinājuma ģeometriskā interpretācija. Melnā līnija ir funkcijas grafiks, sarkanā — pieskare kādā punktā. Leņķa, kuru veido pieskare attiecībā pret x asi, tangenss ir funkcijas atvasinājuma vērtība šajā punktā

Funkcijas atvasinājums dotajā punktā ir lielums, kas rāda, cik strauji mainās funkcijas vērtība dotā punkta apkārtnē. Atvasinājums ir viens no matemātiskās analīzes pamatjēdzieniem.

Definīcija

Funkcijas ƒ(x) atvasinājumu definē ar robežas palīdzību:

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}.$

Piemēri

Konstantas funkcijas atvasinājums

Ja ƒ(x) = C visām x vērtībām, tad šādas funkcijas pieaugums jebkurā punktā ir vienāds ar nulli, jo

$f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)=C-C=0.$

Tāpēc

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{0}{\mathrm{\Delta }x}=0.$

Šo faktu var viegli iegūt arī no atvasinājuma ģeometriskās interpretācijas, jo funkcijas ƒ(x) = C grafiks ir x asij paralēla taisne.

Funkcijas ƒ(x) = x² atvasinājums

Funkcijas ƒ(x) = x² atvasinājumu var atrast šādi:

$(x^2{)}^{\prime }=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2-x^2}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{2x\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }(2x+\mathrm{\Delta }x)=2x.$

Skatīt arī

• Integrālis
• Robeža
• Augstāku kārtu atvasinājumi
• Diferenciālvienādojums
• Teilora rinda

Ārējās saites

• Veidne:MathWorld
• Atvasināšanas formulas Veidne:Webarchive