Robeža (matemātika)

Grafiks funkcijai, kuras vērtība f(x), argumentam x pārsniedzot vērtību S, atrodas attālumā ε no L

Matemātikā robeža ir vērtība, uz kuru tiecas funkcija vai skaitļu virknes elementi. Robežas ir nozīmīga matemātiskās analīzes sastāvdaļa, un tās tiek izmantotas bezgalības, atvasinājumu un integrāļu, kā arī matemātikas konstanšu definēšanā.

Apzīmējums

Formulās robeža parasti tiek apzīmēta, izmantojot vārdu lim, pilnajā formā $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=a$, un robežvērtība, kurai tuvojas funkcija, tiek rakstīta aiz labās bultiņas (→), proti, a_n → a.

Pamatjēdzieni

Funkcijas $y=f(x)$, kad $x\to a$, robeža ir skaitlis $b$, ja katram pozitīvam skaitlim $\epsilon$ var atrast tādu pozitīvu skaitli $\delta$, ka ar visām tām $x$ vērtībām, izņemot $x=a$, kurām $|x-a|<\delta$, ir spēkā nevienādība $|f(x)-b|<\epsilon$.

Funkcijas robežu, kad $x\to a$ un $x>a$, sauc par robežu no labās puses $\underset{x\to a+0}{\lim }f(x)$. Funkcijas robežu, kad $x\to a$ un $x<a$, sauc par robežu no kreisās puses $\underset{x\to a-0}{\lim }f(x)$. Abas šīs robežas sauc par vienpusējām. Ja $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b$, tad $\underset{x\to a+0}{\lim }f(x)=\underset{x\to a-0}{\lim }f(x)=b$. Ja $\underset{x\to a+0}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to a-0}{\lim }f(x)$, tad $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ neeksistē.

Ja $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=0$, tad $y=f(x)$ sauc par bezgalīgi mazu funkciju. Ja $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$, tad $y=f(x)$ sauc par bezgalīgi lielu funkciju. Šādu funkciju īpašības:

• bezgalīgi mazas funkcijas apgrieztā (inversā) funkcija ir bezgalīgi liela funkcija, savukārt, bezgalīgi lielas funkcijas apgrieztā funkcija ir bezgalīgi maza funkcija;
• bezgalīgi mazu funkciju summa ir bezgalīgi maza funkcija;
• bezgalīgi mazas funkcijas reizinājums ar ierobežotu funkciju ir bezgalīgi maza funkcija;
• bezgalīgi mazu funkciju reizinājums ir bezgalīgi maza funkcija;
• bezgalīgi mazas funkcijas dalījums ar funkciju, kuras robeža nav nulle, ir bezgalīgi maza funkcija.

Robežu īpašības

• $\underset{x\to a}{\lim }(f(x)\pm g(x))=\underset{x\to a}{\lim }f(x)\pm \underset{x\to a}{\lim }g(x)$;
• $\underset{x\to a}{\lim }(f(x)\cdot g(x))=\underset{x\to a}{\lim }f(x)\cdot \underset{x\to a}{\lim }g(x)$;
• $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to a}{\lim }f(x)}{\underset{x\to a}{\lim }g(x)}$, ja $\underset{x\to a}{\lim }g(x)\ne 0$;
• ja katram $x$ punkta $a$ apkārtnē $f(x)<M$, tad $\underset{x\to a}{\lim }f(x)\le M$;
• ja katram $x$ punkta $a$ apkārtnē $f(x)<g(x)$, tad $\underset{x\to a}{\lim }f(x)<\underset{x\to a}{\lim }g(x)$;
• ja katram $x$ punkta $a$ apkārtnē $f(x)\le g(x)\le h(x)$ un $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }h(x)=b$, tad $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=b$.

Nenoteiktības

Pirmajām trīs funkcijām ir punkti, kurām nav noteikta limita, savukārt funkcija $f(x)=\frac{sin(x)}{x}$ nav definēta pie $x=0$, bet tās limits eksistē.

Nenoteiktības ir $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$, $\frac{0}{0}$, $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$, $0\cdot \mathrm{\infty }$, $1^{\mathrm{\infty }}$, $0^0$, ${\mathrm{\infty }}^0$, šajos gadījumos rezultātā var būt gan bezgalība, gan nulle, gan cits galīgs skaitlis. Lai aprēķinātu robežu ar nenoteiktību, jāpārveido funkcija: dala katru skaitli ar augstāko mainīgā pakāpi vai pārveido un pēc tam saīsina izteiksmi.

Lai novērstu $\frac{0}{0}$ nenoteiktību, kad izteiksme satur trigonometrisku funkciju, var izmantot pirmo ievērojamo robežu

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx}{x}=1$.

$1^{\mathrm{\infty }}$ nenoteiktību var novērst, izmantojot otro ievērojamo robežu

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$ vai $\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$,kur $e$ ir Eilera skaitlis.

Bezgalīgi mazu lielumu salīdzināšana

Robežu aprēķināšanai dažkārt ērti izmantot bezgalīgi mazu funkciju salīdzināšanu.

Divas bezgalīgi mazas funkcijas $\alpha (x)$ un $\beta (x)$ sauc par vienādas kārtas bezgalīgi mazām funkcijām, kad $x\to 0$, ja

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=C$,

kur $C$ ir galīgs skaitlis, kurš nav nulle.

Ja $C=1$, $\alpha (x)$ un $\beta (x)$ ir ekvivalentas funkcijas:

$\alpha (x)\sim \beta (x)$.

Aprēķinot bezgalīgi mazu funkciju attiecības robežu, tās var aizvietot ar ekvivalentām bezgalīgi mazām funkcijām. Savsarpēji ekvivalentas ir ($x\to 0$) $sinx\sim x$, $1-cosx=\frac{x^2}{2}$, $tgx\sim x$, $e^x-1\sim x$, $\ln (1+x)\sim x$, $(1+x{)}^{\alpha }-1=\alpha x$, $arcsinx\sim x$, $arctgx\sim x$ un citas funkcijas.

Bezgalīgi mazai funkcijai $\alpha (x)$ ir augstāka kārta nekā bezgalīgi mazai funkcijai $\beta (x)$ (to pieraksta kā $\alpha =O(\beta )$), ja

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=0$.

Ja $\alpha =o(\beta )$, tad

$\alpha (x)+\beta (x)\sim \beta (x)$.

$\alpha (x)$ sauc par n-tās kārtas bezgalīgi mazu funkciju salīdzinājumā ar $\beta (x)$, kad $x\to a$ (to pieraksta kā $\alpha =O((\beta (x){)}^n)$), ja

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{\alpha (x)}{(\beta (x){)}^n}=C$.

Funkcijas nepārtrauktība, funkcijas pārtraukumi

Funkcijas $y=\frac{1}{x}$ grafiks. Funkcija nav definēta, ja $x=0$, tas ir funkcijas otrā veida pārtraukuma punkts: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}=\mathrm{\infty }$, $\underset{x\to -0}{\lim }\frac{1}{x}=-\mathrm{\infty }$

Funkcija $y=f(x)$ ir nepārtraukta punktā $x_0$, ja

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\mathrm{\Delta }y(x_0)=0$,

kur $\mathrm{\Delta }x=x_1-x_0$ ir argumenta pieaugums, $\mathrm{\Delta }y=f(x_1)-f(x_0)$ ir funkcijas pieaugums.

Ja funkcija ir nepārtraukta šajā punktā, tad

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$.

Ja funkcija ir pārtraukta punktā $x_0$,

• $x_0$ sauc par pirmā veida pārtraukuma punktu, ja abas vienpusīgās robežas ir galīgas, kad $x\to x_0$;
• $x_0$ sauc par otrā veida pārtraukuma punktu, ja vismaz viena no vienpusīgajām robežām ir bezgalība vai neeksistē, kad $x\to x_0$.