Aritmētikas pamatteorēma
Skaitļu teorijā aritmētikas pamatteorēma apgalvo, ka jebkurš naturāls skaitlis n > 1 ir viennozīmīgi izsakāms kā pirmskaitļu reizinājums formā kur ir pirmskaitļi un ir pozitīvi veseli skaitļi un m ≥ 1.[1][2]
Pielietojumi
Ja zināms, kā dotos skaitļus sadalīt pirmreizinātājos, ir ļoti viegli atrast to lielāko kopīgo dalāmo un mazāko kopīgo dalītāju. Zinot dotā skaitļa n sadalījumu pirmreizinātājos, var viegli aprēķināt arī Eilera funkciju , kas ir RSA šifrēšanas algoritma pamatā.
Pierādījums
Pirmais šīs teorēmas pierādījums ir atrodams Eiklīda "Elementu" septītajā grāmatā (apgalvojumi 30 un 32).[3][4] Taču pirmais no mūsdienu viedokļa pieņemamais pierādījums ir atrodams Karla Frīdriha Gausa darbā "Disquisitiones Arithmeticae", kas izdots 1801. gadā. [5]
Vispārinājumi
Aritmētikas pamatteorēmu var vispārināt dažādām algebriskām struktūram. Piemēram, tā izpildās daudziem gredzeniem. Šādus gredzenus sauc par faktoriālgredzeniem (angliski — unique factorization domain).[6] Aritmētikas pamatteorēma triviāli izpildās jebkurā laukā.
Atsauces
Ārējās saites
- Proof of fundamental theorem of arithmetic Veidne:Webarchive, PlanetMath.
- Eric W. Weisstein, Fundamental Theorem of Arithmetic, MathWorld.
- GCD and the Fundamental Theorem of Arithmetic, cut-the-knot.
- Kevin R. Coombes, The Fundamental Theorem of Arithmetic.
- ↑ Pēteris Daugulis, Veselo skaitļu teorijaVeidne:Novecojusi saite, 2. lekcija, 11. lpp.
- ↑ Veidne:Atsauce.
Skatīt nodaļas:
§1.3 "Statement of the Fundamental Theorem of Arithmetic", 3. lpp.,
§2.10 "Proof of the Fundamental Theorem of Arithmetic", 21. lpp.,
§2.11 "Another Proof of the Fundamental Theorem of Arithmetic", 21. lpp. - ↑ David E. Joyce, Euclid's Elements, Book VII: Proposition 30 un Proposition 32.
- ↑ Richard Fitzpatrick, Euclid's Elements of Geometry Veidne:Webarchive, 218. un 219. lpp.
- ↑ (Mūsdienu izdevums) Veidne:Atsauce, 16. Teorēma, 6. lpp.
- ↑ Juris Smotrovs, Dalāmības teorija veseluma apgabalos, lekciju materiāli.