Delta funkcija

Veidne:Elektrodinamika Delta funkciju ($\delta$ funkciju) fizikā izmanto, lai raksturotu diskrētu punktveida lādiņu izvietojumu telpā. Šo funkciju teorētiskajā fizikā pirmais sāka izmantot ievērojamais angļu fiziķis Pols Adriens Moriss Diraks, viens no kvantu mehānikas pamatlicējiem. Tādēļ delta funkciju dažreiz sauc arī par Diraka delta funkciju. Tā pieder pie vispārinātajām funkcijām; tā nav nepārtraukta un diferencējama šo jēdzienu parastajā nozīmē. Tā ir ērta, ja, piemēram, jāaprēķina materiālo punktu sistēmu raksturojošie integrālie lielumi (pilnais lādiņš, elektriskā lauka intensitāte utt.).

Lādiņa blīvums

Shematiski parādīta delta funkcija (līnija ar bultiņu galā). Bultas augstums parāda funkcijas vērtību.

Pieņemsim, ka uz $x$ ass punktā $x_0$ atrodas punktveida lādiņš $q$. Visos $x$ ass punktos lādiņa blīvums $\rho (x)=0$, izņemot punktu $x=x_0$, kurā tas ir bezgalīgi liels, jo punktam nav tilpuma.

Lai gan funkcija $\rho (x)$ nav nepārtraukta, to var izteikt matemātiski šādi:

$\rho (x)=q\delta (x-x_0)$

kur

$\delta (x-x_0)=\{\begin{array}{cc}0,& x\ne x_0\\ \mathrm{\infty },& x=x_0\end{array}$

Vēl jāizpildās šādam nosacījumam:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (x-x_0)\mathrm{d}x=1$,

kurš nepieciešams, lai iegūtu galīgu lielumu $q$.

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\rho (x)\mathrm{d}x=q\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (x-x_0)\mathrm{d}x=q$

Vairāku lādiņu blīvums

Situācija ir līdzīga, ja uz $x$ ass diskrētos punktos $x_i$ izvietoti $n$ punktveida lādiņi $q_i$ un sistēmas pilnais lādiņš ir $q=\sum _{i=1}^n{q}_i$. Arī šādu lādiņu izvietojumu var izteikt ar $\delta$ funkcijām $\delta (x-x_i)$.

$\rho (x)=\sum _{i=1}^n{q}_i\delta (x-x_i)$

Un līdz ar to

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\rho (x)\mathrm{d}x=\sum _{i=1}^n{q}_i\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (x-x_i)\mathrm{d}x=\sum _{i=1}^n{q}_i=q$

Skatīt arī

• Kronekera delta