Elektromagnētiskā lauka enerģija

Veidne:Elektrodinamika Elektromagnētiskā lauka enerģija ir enerģija, kura piemīt elektromagnētiskajam laukam. Par to, ka elektromagnētiskajam laukam ir enerģija, liecina enerģijas bilances vienādojums.

Enerģijas bilances vienādojums

Enerģijas bilances vienādojums ir

$\underset{V}{\int }p\mathrm{d}V=-\underset{V}{\int }\mathrm{div}\overrightarrow{S}\mathrm{d}V-\underset{V}{\int }\frac{\partial \omega }{\partial t}\mathrm{d}V$

kur

$V$ - tilpums

$t$ - laiks

$p=\overrightarrow{j}\overrightarrow{E}$

$\overrightarrow{S}=\frac{c}{4\pi }\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}$

$\omega =\frac{1}{8\pi }(E^2+B^2)$

Ja pārraksta enerģijas bilances vienādojumu, neizmantojot augstāk minētos apzīmējumus $\omega$, $\overrightarrow{S}$ un $p$, tad vienādojums izskatās šāds:

$\underset{V}{\int }\overrightarrow{j}\overrightarrow{E}\mathrm{d}V=-\frac{c}{4\pi }\underset{V}{\int }\mathrm{div}(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B})\mathrm{d}V-\frac{1}{8\pi }\underset{V}{\int }\frac{\partial }{\partial t}(E^2+B^2)\mathrm{d}V$

Lai iegūtu enerģijas bilances vienādojumus, jāapskata elektromagnētisko lauku ($\overrightarrow{E}$, $\overrightarrow{B}$) un tā avoti - lādiņnesēji, kuru izraisītās strāvas blīvums $\overrightarrow{j}=\rho \overrightarrow{v}$.

Enerģijas bilances vienādojuma pierādījums

Uz lādiņnesējiem tilpuma elementā $\mathrm{d}V$ darbojas Kulona spēks $\mathrm{d}\overrightarrow{F}=\rho \overrightarrow{E}\mathrm{d}V$, tāpēc ka $\mathrm{d}q=\rho \mathrm{d}V$, un Lorenca spēks, kurš atkarīgs no lādiņnesēju orientētās kustības ātruma $\overrightarrow{v}$ un magnētiskās indukcijas $\overrightarrow{B}$. Kulona spēka iedarbības rezultātā elektriskais lauks $\overrightarrow{E}$ laika vienībā veic darbu $\mathrm{d}P=\overrightarrow{v}\mathrm{d}\overrightarrow{F}=\rho \overrightarrow{v}\overrightarrow{E}\mathrm{d}V=\overrightarrow{j}\overrightarrow{E}\mathrm{d}V$. Darbs laika vienībā ir jauda, ko elektriskais lauks patērē lādiņu pārvietošanai. Ja lādiņu kustība notiek pa tilpumu $V$, tad elektriskā lauka patērētā jauda

$P=\underset{V}{\int }\mathrm{d}P=\underset{V}{\int }\overrightarrow{j}\overrightarrow{E}\mathrm{d}V$

Saskaņā ar formulu ${\overrightarrow{F}}_L=q(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})$ Lorenca spēka vektors $\mathrm{d}{\overrightarrow{F}}_L$ vienmēr darbojas perpendikulāri lādiņa $\mathrm{d}q$ ātruma $\overrightarrow{v}$ virzienam un tādēļ darbu neveic: $\mathrm{d}P=\overrightarrow{v}\mathrm{d}{\overrightarrow{F}}_L=0$. No tā var secināt, ka integrālis $P=\underset{V}{\int }\mathrm{d}P=\underset{V}{\int }\overrightarrow{j}\overrightarrow{E}\mathrm{d}V$ ir pilnā jauda, ko lādiņiem, tos pārvietojot, atdod elektromagnētiskais lauks.

No trešā Maksvela vienādojuma $\mathrm{rot}\overrightarrow{B}=\frac{4\pi }{c}\overrightarrow{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$ izsaka strāvas blīvumu $\overrightarrow{j}$: $\overrightarrow{j}=\frac{c}{4\pi }\mathrm{rot}\overrightarrow{B}-\frac{1}{4\pi }\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$. Tātad jaudas blīvums $\overrightarrow{j}\overrightarrow{E}=\frac{c}{4\pi }\overrightarrow{E}\mathrm{rot}\overrightarrow{B}-\frac{1}{4\pi }\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\overrightarrow{E}$. Izteiksmi var simetrizēt, izmantojot pirmo Maksvela vienādojumu, $\mathrm{rot}\overrightarrow{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$. Saskaņā ar to $\overrightarrow{B}\mathrm{rot}\overrightarrow{E}=-\frac{1}{c}\overrightarrow{B}\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$ un jaudas blīvums $\overrightarrow{j}\overrightarrow{E}=\frac{c}{4\pi }(\overrightarrow{E}\mathrm{rot}\overrightarrow{B}-\overrightarrow{B}\mathrm{rot}\overrightarrow{E})-(\frac{1}{4\pi }\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\overrightarrow{E}+\frac{1}{4\pi }\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\overrightarrow{B})$. Iegūtās vienādības labās puses pirmo saskaitāmo pārveido, izmantojot to, ka $\overrightarrow{E}\mathrm{rot}\overrightarrow{B}-\overrightarrow{B}\mathrm{rot}\overrightarrow{E}=-\mathrm{div}(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B})$, bet otro uzraksta formā $-\frac{1}{4\pi }(\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\overrightarrow{E}+\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\overrightarrow{B})=-\frac{1}{8\pi }\frac{\partial }{\partial t}(E^2+B^2)$. Līdz ar to iegūstam enerģijas vienādojuma skalāro reizinājumu

$\overrightarrow{j}\overrightarrow{E}=-\frac{c}{4\pi }\mathrm{div}(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B})-\frac{1}{8\pi }\frac{\partial }{\partial t}(E^2+B^2)$

Atliek tik nointegrēt pēc tilpuma elementa un iegūstam pilno enerģijas bilances vienādojumu.

Enerģijas bilances vienādojuma vienkāršais pieraksts

Enerģijas bilnaces vienādojumu, kurš dots šī raksta sākumā, ērti var uzrakstīt šādi:

$-\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}={\oint }_{\mathrm{\Sigma }}\overrightarrow{S}\mathrm{d}\mathrm{\Sigma }+P$

kur

$W=\underset{V}{\int }\omega \mathrm{d}V=\frac{1}{8\pi }\underset{V}{\int }(E^2+B^2)\mathrm{d}V$

$P=\underset{V}{\int }p\mathrm{d}V=\underset{V}{\int }\overrightarrow{j}\overrightarrow{E}\mathrm{d}V$

${\oint }_{\mathrm{\Sigma }}\overrightarrow{S}\mathrm{d}\mathrm{\Sigma }=\underset{V}{\int }\mathrm{div}\overrightarrow{S}\mathrm{d}V$ (Šī formula izriet no Ostrogradska-Gausa teorēmas, kur $\mathrm{\Sigma }$ ir tilpumu $V$ norobežojoša virsma)

$W$ ir elektromagnētiskā lauka enerģija, kuras dimensija ir $[W]=\frac{m^2\cdot kg}{s^2}$

$\omega$ ir elektromagnētiskā lauka enerģijas blīvums, kuras dimensija ir $[\omega ]=\frac{kg}{m\cdot s^2}$

Pointinga vektors

Vektoru $\overrightarrow{S}$ sauc par elektromagnētiskā lauka enerģijas plūsmas blīvuma vektoru jeb Pointinga vektoru. Vektora $\overrightarrow{S}$ modulis $S=\frac{c}{4\pi }|\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}|$ ir elektromagnētiskā lauka enerģijas plūsmas blīvums. Tā dimensija ir $[S]=\frac{kg}{s^3}$.

Džoula siltums

Džoula siltums ir enerģijas zudumi, kurus izraisa elektromagnētiskā lauka darbs (laika vienībā) $P=\underset{V}{\int }\overrightarrow{j}\overrightarrow{E}\mathrm{d}V$, plūstot strāvai pa vadu. $P$ ir Džoula siltums, bet jaudas blīvumu $p$ dēvē dažreiz par īpatnējo Džoula siltumu.

Enerģijas bilances vienādojuma interpretācija

Elektromagnētiskajam laukam tilpumā $V$ piemīt enerģija $W$, kura mainās laikā divu iemeslu dēļ:

• enerģija plūst caur lauka tilpumu norobežojošo virsmu $\mathrm{\Sigma }$;
• tās plūsma ir ${\oint }_{\mathrm{\Sigma }}\overrightarrow{S}\mathrm{d}\mathrm{\Sigma }$, vai arī elektromagnētiskais lauks pārvieto lādiņus un līdz ar to veic darbu.

Piemēram, enerģija plūst, izplatoties elektromagnētiskajam vilnim. Maiņstrāvas ķēdēs, kuras satur spoles un kondensatorus, pastāv vektora $\overrightarrow{S}$ plūsma, kura liek magnētiskajā un elektriskajā laukā uzkrātajai enerģijai divreiz periodā mainīties no nulles līdz maksimālajai vērtībai. Šāda plūsma rodas arī līdzstrāvas ķēdēs: ieslēgšanas brīdī tā piegādā enerģiju spoļu un kondensatoru laukam, bet, ķēdi atslēdzot, nodrošina šīs enerģijas izkliedēšanos (disipāciju). Un beidzot, vektora $\overrightarrow{S}$ plūsma ir tā, kura pārnes enerģiju gan pa elektropārvades, gan pa sakaru un citām līnijām.

Pointinga vienādojums

Pointinga vienādojums ir šāds: $-\frac{\partial \omega }{\partial t}=\mathrm{div}\overrightarrow{S}+p$. Šo diferenciālvienādojumu iegūst, kad, salīdzinot zemintegrāļa izteiksmes, enerģijas bilances vienādojuma kreisās un labās puses integrācijas apgabals $V$ ir patvaļīgs, ar elektromagnētisko lauku "pildīts" tilpums.

Pointinga vienādojuma interpretācija

Telpas elementi $\mathrm{d}V$, kuros laikā mainās elektromagnētiskā lauka enerģijas blīvums ($\frac{\partial \omega }{\partial t}\ne 0$), ir enerģijas plūsmas vektora $\overrightarrow{S}$ līniju izteču un noteču vietas vai arī tajos elektromagnētiskais lauks, pārvietojot lādiņus, laika vienībā veic darbu $p=\overrightarrow{j}\overrightarrow{E}$ (šis lielums, kā jau teikts, ir zudumu jaudas blīvums).