Hiperboliskās funkcijas

Hiperboliskā sinusa sh, hiperboliskā kosinusa ch un hiperboliskā tangensa th grafiki

Hiperboliskās funkcijas ir kompleksā vai reālā mainīgā analītiskās funkcijas. Tās ir analogās funkcijas trigonometriskajās funkcijām. Vienkāršākās hiperboliskās funkcijas ir hiperboliskais sinuss "sh" un hiperboliskais kosinuss "ch", no kuriem ir atvasināts hiperboliskais tangenss "th", hiperboliskais kosekanss "csch", hiperboliskais sekanss "sech" un hiperboliskais kotangenss "cth".

Hiperboliskās funkcijas parasti izmanto dažādu procesu (galvenokārt vienkāršu) raksturošanai, funkciju aproksimācijai.

Algebriskās izteiksmes

• Hiperboliskais sinuss:

$\mathrm{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}-1}{2e^x}=\frac{1-e^{-2x}}{2e^{-x}}$

• Hiperboliskais kosinuss:

$\mathrm{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}+1}{2e^x}=\frac{1+e^{-2x}}{2e^{-x}}$

• Hiperboliskais tangenss:

$\mathrm{th}x=\frac{\mathrm{sh}x}{\mathrm{ch}x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}$

• Hiperboliskais kotangenss:

$\mathrm{cth}x=\frac{\mathrm{ch}x}{\mathrm{sh}x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=\frac{1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}$

• Hiperboliskais sekanss:

$\mathrm{sech}x={(\mathrm{ch}x)}^{-1}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}=\frac{2e^x}{e^{2x}+1}=\frac{2e^{-x}}{1+e^{-2x}}$

• Hiperboliskais kosekanss:

$\mathrm{csch}x={(\mathrm{sh}x)}^{-1}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}=\frac{2e^x}{e^{2x}-1}=\frac{2e^{-x}}{1-e^{-2x}}$

Hiperboliskās funkcijas var izteikt arī ar trigonometriskajām funkcijām:

• Hiperboliskais sinuss:

$\mathrm{sh}x=-\mathrm{i}\sin \mathrm{i}x$

• Hiperboliskais kosinuss:

$\mathrm{ch}x=\cos \mathrm{i}x$

• Hiperboliskais tangenss:

$\mathrm{th}x=-\mathrm{i}\mathrm{tg}\mathrm{i}x$

• Hiperboliskais kotangenss:

$\mathrm{cth}x=\mathrm{i}\mathrm{ctg}\mathrm{i}x$

• Hiperboliskais sekanss:

$\mathrm{sech}x=\sec \mathrm{i}x$

• Hiperboliskais kosekanss:

$\mathrm{csch}x=\mathrm{i}\csc \mathrm{i}x$

kur i ir imaginārā vienība: i² = −1.

Attiecības

Pāra un nepāra funkcijas:

$\begin{array}{cc}\mathrm{sh}-x& =-\mathrm{sh}x\\ \mathrm{ch}-x& =\mathrm{ch}x\end{array}$

Tātad:

$\begin{array}{cc}\mathrm{th}-x& =-\mathrm{th}x\\ \mathrm{cth}-x& =-\mathrm{cth}x\\ \mathrm{sech}-x& =\mathrm{sech}x\\ \mathrm{csch}-x& =-\mathrm{csch}x\end{array}$

Hiperboliskais sinuss un hiperboliskais kosinuss apmierina vienādību

${\mathrm{ch}}^{2}x-{\mathrm{sh}}^{2}x=1$

Inversās hiperboliskās trigonometriskās funkcijas

Inversās hiperboliskās trigonometriskās funkcijas var izteikt ar naturāllogaritmiem

$\begin{array}{cc}\mathrm{arsh}(x)& =\ln (x+\sqrt{x^2+1})\\ \mathrm{arch}(x)& =\ln (x+\sqrt{x^2-1});x\ge 1\\ \mathrm{arth}(x)& =\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right);\left|x\right|<1\\ \mathrm{arcth}(x)& =\frac{1}{2}\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right);\left|x\right|>1\\ \mathrm{arsech}(x)& =\ln (\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1-x^2}}{x});0<x\le 1\\ \mathrm{arcsch}(x)& =\ln (\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^2}}{\left|x\right|});x\ne 0\end{array}$

Diferenciāļi

$\frac{d}{dx}\mathrm{sh}x=\mathrm{ch}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{ch}x=\mathrm{sh}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{th}x=1-{\mathrm{th}}^{2}x={\mathrm{sech}}^{2}x=1/{\mathrm{ch}}^{2}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{cth}x=1-{\mathrm{cth}}^{2}x=-{\mathrm{csch}}^{2}x=-1/{\mathrm{sh}}^{2}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{csch}x=-\mathrm{cth}x\mathrm{csch}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{sech}x=-\mathrm{th}x\mathrm{sech}x$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arsh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arch}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arth}x=\frac{1}{1-x^2}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcsch}x=-\frac{1}{\left|x\right|\sqrt{1+x^2}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arsech}x=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}\mathrm{arcth}x=\frac{1}{1-x^2}$

Nenoteiktie integrāļi

$\begin{array}{cc}\int \mathrm{sh}(ax)dx& =a^{-1}\mathrm{ch}(ax)+C\\ \int \mathrm{ch}(ax)dx& =a^{-1}\mathrm{sh}(ax)+C\\ \int \mathrm{th}(ax)dx& =a^{-1}\ln (\mathrm{ch}(ax))+C\\ \int \mathrm{cth}(ax)dx& =a^{-1}\ln (\mathrm{sh}(ax))+C\\ \int \mathrm{sech}(ax)dx& =a^{-1}\mathrm{arctg}(\mathrm{sh}(ax))+C\\ \int \mathrm{csch}(ax)dx& =a^{-1}\ln (\mathrm{th}\left(\frac{ax}{2}\right))+C\end{array}$

$\begin{array}{cc}\int \frac{du}{\sqrt{a^2+u^2}}& ={\mathrm{sh}}^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C\\ \int \frac{du}{\sqrt{u^2-a^2}}& ={\mathrm{ch}}^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C\\ \int \frac{du}{a^2-u^2}& =a^{-1}{\mathrm{th}}^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C;u^2<a^2\\ \int \frac{du}{a^2-u^2}& =a^{-1}{\mathrm{cth}}^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C;u^2>a^2\\ \int \frac{du}{u\sqrt{a^2-u^2}}& =-a^{-1}{\mathrm{sech}}^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C\\ \int \frac{du}{u\sqrt{a^2+u^2}}& =-a^{-1}{\mathrm{csch}}^{-1}\left|\frac{u}{a}\right|+C\end{array}$

kur C ir integrēšanas konstante.

Funkciju izvirzījumi

Funkciju izvirzījumi Teilora rindā:

$\mathrm{sh}x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\mathrm{ch}x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{th}x& =x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},\left|x\right|<\frac{\pi }{2}\\ \mathrm{cth}x& =x^{-1}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}{B}_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi \\ \mathrm{sech}x& =1-\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}-\frac{61x^6}{720}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_{2n}{x}^{2n}}{(2n)!},\left|x\right|<\frac{\pi }{2}\\ \mathrm{csch}x& =x^{-1}-\frac{x}{6}+\frac{7x^3}{360}-\frac{31x^5}{15120}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(1-2^{2n-1})B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi \end{array}$

where

$B_n$ ir n-tais Bernulli skaitlis

$E_n$ ir n-tais Eilera skaitlis

Skatīt arī

• e (konstante)

Ārējās saites

• Encyclopedia of Mathematics ierakstsVeidne:Novecojusi saite
• MathWorld ieraksts