Ievilkts leņķis

Ievilkti leņķi, kuri ietver to pašu loku, ir vienlieli. Centra leņķis, kas ietver to pašu loku, ir tieši divreiz lielāks par ievilkto leņķi.

Ievilkts leņķis ir riņķa iekšienē veidots leņķis no divām hordām, kuras krustojas uz riņķa līnijas.

Ievilktā leņķa teorēma

Ievilktā leņķa teorēma apgalvo, ka, ja $\theta$ ir ievilkts leņķis, tad uz tā paša loka balstīts centra leņķis būs $2\theta$. No tā izriet, ka brīvi bīdot leņķa virsotni, kamēr tā balstās uz to pašu loku, leņķis $\theta$ būs konstants. Citiem vārdiem, ja divi ievilkti leņķi balstās uz to pašu loku, tie abi būs $\theta$.

Pierādījums

Pierādījums izmantojot vienādsānu trijstūrus.

Pieņemsim, ka ievilktais leņķis ir $\mathrm{\angle }ABC$, tad centra leņķis būs $\mathrm{\angle }AOC$. Ir iespējams novilkt rādiusus $AO,BO,CO$, tādējādi trijstūri $\mathrm{△}AOB$ un $\mathrm{△}BOC$ ir vienādsānu. Iespējams ieviest leņķus $\alpha$ un $\beta$, katru savā trijstūrī. Tagad iegūtais ievilktais leņķis $\mathrm{\angle }ABC=\alpha +\beta$. Tā kā trijstūra leņķu summa ir $180^{\circ }$, iespējams izteikt leņķi $\mathrm{\angle }AOB=180^{\circ }-2\alpha$ un $\mathrm{\angle }BOC=180^{\circ }-2\beta$. Tā kā leņķis ap punktu O ir $360^{\circ }$, to iespējams pierakstīt kā $360^{\circ }=180^{\circ }-2\alpha +180^{\circ }-2\beta +\mathrm{\angle }AOC$, izsakot leņķi $\mathrm{\angle }AOC=2(\alpha +\beta )$, tā kā $\mathrm{\angle }ABC=\alpha +\beta$, tad centra leņķis ir divreiz lielāks par ievilkto leņķi. Q.E.D.

Šādu argumentāciju var izmantot visos trīs gadījumos: 1) riņķa līnijas centrs atrodas uz ievilktā leņķa malas; 2) riņķa līnijas centrs atrodas ievilktā leņķa iekšpusē; 3) riņķa līnijas centrs atrodas ārpus ievilktā leņķa.