Kvadrātvienādojums

Kvadrātvienādojums ir otrās pakāpes vienādojums, kura vispārīgais veids ir

$a{x}^2+bx+c=0,$

kur $x$ ir nezināmais un $a$ ≠ 0. Izteiksmi $a{x}^2+bx+c$ sauc par kvadrāttrinomu. No algebras pamatteorēmas seko, ka kvadrātvienādojumam ir tieši divas saknes (šīs saknes var būt vienādas).

Kvadrātvienādojuma saknes

Kvadrātvienādojuma $a{x}^2+bx+c=0$ saknes $x_1$ un $x_2$ var aprēķināt pēc formulas

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

jeb (izvērstā veidā)

$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Lietot var arī - $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

Kvadrātvienādojuma diskriminants

Lielumu

$D=b^2-4ac$

sauc par kvadrātvienādojuma $a{x}^2+bx+c=0$ diskriminantu. Šis skaitlis nosaka kvadrātvienādojuma sakņu veidu:

• ja $D>0$, tad kvadrātvienādojumam ir divas dažādas reālas saknes;
• ja $D=0$, tad kvadrātvienādojumam ir divkārša sakne, kuru aprēķina pēc formulas $x=-b/2a$;
• ja $D<0$, tad kvadrātvienādojumam ir divas kompleksi saistītas saknes.

Kvadrāttrinoma sadalīšana reizinātājos

Ja ir zināmas kvadrātvienādojuma $a{x}^2+bx+c=0$ saknes $x_1$ un $x_2$, tad attiecīgo kvadrāttrinomu $a{x}^2+bx+c$ var sadalīt reizinātājos:

$a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).$

Vjeta teorēma

Ja $x_1$ un $x_2$ ir kvadrātvienādojuma $x^2+px+q=0$ saknes, tad to summa ir vienāda ar koeficientu $p$, kurš ņemts ar pretēju zīmi, bet sakņu reizinājums ir vienāds ar $q$:

$x_1+x_2=-p,x_1{x}_2=q.$

Vispārīgā gadījumā, ja kvadrātvienādojums ir formā $a{x}^2+bx+c=0$, kur $a$ ≠ 0, un $x_1$ un $x_2$ ir tā saknes, tad

$x_1+x_2=-b/a,x_1{x}_2=c/a.$

Šo apgalvojumu sauc par Vjeta teorēmu, jo to pirmais pierādīja franču matemātiķis Fransuā Vjets.

Vjeta teorēmas pierādījums

Ja $x_1$ un $x_2$ ir kvadrātvienādojuma $x^2+px+q=0$ saknes, tad ir spēkā vienādība

$(x-x_1)(x-x_2)=x^2+px+q.$

Atverot iekavas, iegūstam

$\begin{array}{cc}(x-x_1)(x-x_2)& =x^2-x_{1}x-x_{2}x+x_1{x}_2\\ & =x^2\underset{p}{\underbrace{-(x_1+x_2)}}x+\underset{q}{\underbrace{x_1{x}_2}}.\end{array}$

Vispārīgā gadījumā, ja kvadrātvienādojums ir formā $a{x}^2+bx+c=0$, kur $a$ ≠ 0, tad abas vienādojuma puses var izdalīt ar $a$ un iegūt kvadrātvienādojumu

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.$

Šis kvadrātvienādojums ir formā $x^2+px+q=0,$ kur $p=b/a$ un $q=c/a$, tāpēc tam var pielietot augstāk aprakstīto vienkāršoto Vjeta teorēmas versiju. Rezultātā iegūst

$x_1+x_2=-b/a,x_1{x}_2=c/a,$

kur $x_1$ un $x_2$ ir vienādojuma $x^2+px+q=0$ saknes. Tā kā šis vienādojums ir ekvivalents sākotnējajam vienādojumam, tad $x_1$ un $x_2$ ir arī vienādojuma $a{x}^2+bx+c=0$ saknes.

Skatīt arī

• Bikvadrātvienādojums
• Diskriminants
• Lineārs vienādojums
• Polinoms
• Vienādojums

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Quadratic Equation, MathWorld.
• Quadratic formula Veidne:Webarchive, PlanetMath.
• Quadratic equation in C Veidne:Webarchive, PlanetMath.
• Derivation of quadratic formula Veidne:Webarchive, PlanetMath.
• Alexander Bogomolny, Graph and Roots of Quadratic Polynomial, cut-the-knot.org.
• Chris Budd, Chris Sangwin, 101 uses of a quadratic equation Veidne:Webarchive, 101 uses of a quadratic equation: Part II Veidne:Webarchive, Plus, 2004.