Lagranža teorēma

Ja $f$ ir nepārtraukta un diferencējama jebkur intervālā $(a;b)$, tad pastāv tāds $c$, ka šī punkta atvasinājuma taisne būs paralēla sekantes taisnei, kas savieno punktus $a$ un $b$

Lagranža teorēma apgalvo, ka, ja funkcija $f$ ir nepārtraukta nogriežņa intervālā $[a;b]$ un diferencējamā intervālā $(a;b)$, tad eksistē tāds punkts $c\in (a;b)$, ka

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$.

Mehāniski to var definēt kā lai $f(t)$- punkta attālums momentā $t$ no sākumpunkta. Tad f(b) – f(a)$f(b)-f(a)$ ir attālums no momenta $t=a$ līdz momentam $t=b$. Attiecība $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ – vidējais ātrums šajā intervālā. Tātad, ja ķermena ātrums noteikts jebkurā laika momentā $t\in (a,b)$, tad kaut kādā momentā tas būs vienāds ar savu vidējo vienību šajā intervālā.

Pierādījums

Funkcijai ar vienu mainīgo:

Ievadām funkciju $F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$. Priekš tās ir izpildīti Rolla teorēmas noteikumi: nogriežņa galapunktos vienības ir vienādas ar nulli.

Izmantojot doto teorēmu, iegūsim, ka eksistē punkts $c$, kurā funkcijas $F$ atvasinājums ir vienāds ar nulli:

$f^{\prime }(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\iff \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c),$

Galīgie un bezgalīgie mazie pieaugumi

Galīgo pieaugumu var skaidrot ar to faktu, ka ja formulā $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$, kreiso pusi apzīmējam kā $\mathrm{\Delta }y$, bet labajā pusē faktoru $(b-a)$ apzīmējam ar $\mathrm{\Delta }x$, tad mēs iegūsim formulu: $\mathrm{\Delta }y=f^{\prime }(c)\mathrm{\Delta }x$

Un tā savukārt ir ļoti līdzīga ar diferenciāla definīciju.

$dy=f^{\prime }(x)dx$

Pielikums

• Lagranža teorēma var būt pielietota, nosakot nenoteiktību priekš robežām.

Variācijas un apkopojums

Lagranža teorēma par galīgo pieaugumu – viena no svarīgākajām, galvenā teorēma visā diferenciālajā sistēmā.

Pierādījums. Visiem $x$ un $y$ piemīt punkts $c$, tāda kas $f(y)-f(x)=f^{\prime }(c)(y-x)=0$.

Tātad pie visiem $x$ un $y$ būs patiesā vineādība kur $f(y)=f(x)$.

Analoģiski pierādās arī monotonitātes kritērijs priekš diferenciālām funkcijām. Diferencējama funkcija $f(x)$ pieaug/dilst nogrieznī $[a,b]$ tikai tad, kad tās $f^{\prime }(x)$ atvasinājums uz tā nogriežņa nav ne negatīvs/ne pozitīvs.

• No Teilora formulas ar atlikuma locekli, kad $n=1$ iegūstam Lagranža formulu par galīgo pieaugumu. $f(x+h)=f(x)+f^{\prime }(x)h+f^{″}(x)\frac{h^2}{2}+...+f^{(n-1)}(x)\frac{h^{n-1}}{(n-1)!}+f^{(n)}(x+\theta h)\frac{h^n}{n!}$

• Ja funkcija ar $n$ mainīgiem $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ divreiz deferencējama punkta o apgabalā, tad šajā punktā ir patiesa vienādība:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}$

Pierādījums priekš $n=2$. Piefiksēsim vienību $\mathrm{\Delta }x$ un $\mathrm{\Delta }y$ un aplūkosim dažveidīgus operātorus:

${\mathrm{\Delta }}_x:f(x,y)\to \frac{f(x+\mathrm{\Delta }x,y)-f(x,y)}{\mathrm{\Delta }x}$ un ${\mathrm{\Delta }}_y:f(x,y)\to \frac{f(x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)}{\mathrm{\Delta }y}$

Pēc Lagrandža teorēmas eksistē skaitļi 0${\theta }_1,{\theta }_2\in (0,1)$, tādi ka: ${\mathrm{\Delta }}_y{\mathrm{\Delta }}_{x}f(x,y)={\mathrm{\Delta }}_y\frac{\partial f}{\partial x}(x+{\theta }_1\mathrm{\Delta }x,y)=\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}(x+{\theta }_1\mathrm{\Delta }x,y+{\theta }_2\mathrm{\Delta }y)\to \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$

Pie $(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\to 0$ nepārtrauktības spēkā otro funkciju atvasinājumu $f(x,y)$.

Analoģiski pierādās, ka ${\mathrm{\Delta }}_x{\mathrm{\Delta }}_{y}f(x,y)\to \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$.

Bet tā kā ${\mathrm{\Delta }}_y{\mathrm{\Delta }}_{x}f(x,y)={\mathrm{\Delta }}_x{\mathrm{\Delta }}_{y}f(x,y)$, tad tās robežas sakrīt.