Lineārā neatkarība

Lineāri neatkarīgi vektori telpā

Lineārā neatkarība ir vektoru sistēmas īpašība, ka neeksistē netriviāla lineāra kombinācija šiem vektoriem, kas vienāda ar nulles vektoru. Ja šāda lineāra kombinācija eksistē, tad vektoru sistēmu sauc par lineāri atkarīgu. Šie koncepti ir svarīgi, lai definētu dimensijas.

Definīcija

Vektoru sistēmu ${\overrightarrow{a}}_1,{\overrightarrow{a}}_2,...,{\overrightarrow{a}}_n$ vektoru telpā $V$ sauc par lineāri atkarīgu, ja eksistē skalāri $k_1,k_2,...,k_n$, kur vismaz viens nav nulle un izpildās izteiksme:

$k_1{\overrightarrow{a}}_1+k_2{\overrightarrow{a}}_2+...+k_n{\overrightarrow{a}}_n=\overrightarrow{0}$

Šie nosacījumi pieņem, ka vismaz viens skalārs nav nulle, piemēram, $k_1\ne 0$, tad šo izteiksmi var pārrakstīt:

${\overrightarrow{a}}_1=\frac{-k_2}{k_1}{\overrightarrow{a}}_2+...+\frac{-k_n}{k_1}{\overrightarrow{a}}_n$, ja $n>1$ un ${\overrightarrow{a}}_1=\overrightarrow{0}$, ja $n=1$.

Līdz ar to vektoru sistēma ir lineāri atkarīga, ja viens no vektoriem ir nulles vektors vai viens no šiem vektoriem ir lineāra kombinācija ar citiem vektoriem. Citādi, vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga.

Ģeometriskā interpretācija

Var pierādīt dažas teorēmas, kurām ir ģeometriskas interpretācijas:

• Teorēma: divi nenulles vektori $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ ir lineāri atkarīgi tad un tikai tad, ja šie vektori ir kolineāri.

Nepieciešamība: vektori ir lineāri atkarīgi, tātad $k_1\overrightarrow{a}+k_2\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$, kur $k_1,k_2\ne 0$. No šī izriet, ka $\overrightarrow{a}=-\frac{k_2}{k_1}\overrightarrow{b}$, līdz ar to vektori ir vērsti vienā virzienā un ir kolineāri.

Pietiekamība: vektori ir kolineāri, tātad $\overrightarrow{a}=\lambda \overrightarrow{b}$, jeb $\overrightarrow{a}-\lambda \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$, līdz ar to izpildās lineārās atkarības nosacījums, kur

$k_1=1,k_2=-\lambda$. Tātad vektori ir lineāri atkarīgi.

Plaknē no diviem nekolineāriem vektoriem var izveidot jebkuru citu vektoru šajā plaknē

• Teorēma: trīs nenulles vektori $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ ir lineāri atkarīgi tad un tikai tad, ja šie vektori ir komplanāri.

Nepieciešamība: vektori ir lineāri atkarīgi, tātad $k_1\overrightarrow{a}+k_2\overrightarrow{b}+k_3\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$, kur $k_1,k_2,k_3\ne 0$. No šī izriet, ka $\overrightarrow{a}=-\frac{k_2}{k_1}\overrightarrow{b}-\frac{k_3}{k_1}\overrightarrow{c}$, var apzīmēt $-\frac{k_2}{k_1}={\lambda }_1,=-\frac{k_3}{k_1}={\lambda }_2$ un novietot vektorus $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ tā, lai tiem ir kopīgs sākumpunkts. Līdz ar to vektors $\overrightarrow{a}$ ir diagonāle $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ veidotajam paralelogramam un vektori ir komplanāri. Ja $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ vektori ir kolineāri, tad $\overrightarrow{a}$ arī būs kolineārs un attiecīgi arī komplanārs.

Pietiekamība: vektori ir komplanāri, tātad tos var novietot vienā plaknē. Ja divi no vektoriem ir kolineāri, piemēram, $\overrightarrow{a}=\lambda \overrightarrow{b}$, tad var izveidot lineāru kombināciju $\overrightarrow{a}-\lambda \overrightarrow{b}+0\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$, tā kā ir vismaz viens nenulles koeficients, tad vektori ir lineāri atkarīgi. Ja nav neviena divu vektora pāra, kuri ir kolineāri, tad visus vektorus var novietot tā, ka tiem ir kopīgs sākumpunkts un var izvēlēties vienu vektoru, piemēram, $\overrightarrow{a}$, kuru var uzrakstīt kā lineāru kombināciju ar pārējiem vektoriem ${\lambda }_1\overrightarrow{b}+{\lambda }_2\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}$, jeb $-\overrightarrow{a}+{\lambda }_1\overrightarrow{b}+{\lambda }_2\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ un ir vismaz viens nenulles koeficients, tātad vektori ir lineāri atkarīgi.