Matricu reizināšana

Matricu reizināšana ir bināra operācija, kurā tiek reizināts matricu pāris, šīs operācijas rezultātā tiek iegūta jauna matrica. Skaitļi (piemēram, reāli, kompleksi skaitļi) var tikt reizināti kā elementārajā aritmētikā.

Pastāv vairāki veidi, kā reizināt matricas, no kuriem vienkāršākais ir reizināšana ar skaitli. Matricu reizināšana nav komutatīva, kas nozīmē, ka Veidne:Math. Ja tiek reizināta matrica Veidne:Math (Veidne:Math matrica) un Veidne:Math (Veidne:Math matrica), tad reizināšanas rezultāts Veidne:Math ir Veidne:Math matrica.

Reizināšana

Reizināšana ar skaitli

Vienkāršākā reizināšana ar matricām ir matricas reizināšana ar skaitli.

Skaitļa Veidne:Math reizinājums ar matricu Veidne:Math ir matrica Veidne:Math, kuras izmērs ir tāds pats, kā matricai Veidne:Math. Matricas Veidne:Math locekļus definē kā

$(\lambda 𝐀{)}_{ij}=\lambda {\left(𝐀\right)}_{ij},$

kas izvērstā pierakstā izskatās šādi:

$\lambda 𝐀=\lambda \left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1m}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n1}& A_{n2}& \cdots & A_{nm}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\lambda A_{11}& \lambda A_{12}& \cdots & \lambda A_{1m}\\ \lambda A_{21}& \lambda A_{22}& \cdots & \lambda A_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \lambda A_{n1}& \lambda A_{n2}& \cdots & \lambda A_{nm}\end{array}\right).$

Līdzīgi tiek definēts matricas Veidne:Math reizinājums ar skaitli Veidne:Math

$(𝐀\lambda {)}_{ij}={\left(𝐀\right)}_{ij}\lambda ,$

kas izvērstā pierakstā izskatās šādi:

$𝐀\lambda =\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1m}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n1}& A_{n2}& \cdots & A_{nm}\end{array}\right)\lambda =\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}\lambda & A_{12}\lambda & \cdots & A_{1m}\lambda \\ A_{21}\lambda & A_{22}\lambda & \cdots & A_{2m}\lambda \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n1}\lambda & A_{n2}\lambda & \cdots & A_{nm}\lambda \end{array}\right).$

Piemērs ar reālu skaitli un matricu:

$\lambda =2,𝐀=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

$2𝐀=2\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2\cdot a& 2\cdot b\\ 2\cdot c& 2\cdot d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a\cdot 2& b\cdot 2\\ c\cdot 2& d\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)2=𝐀2.$

Divu matricu reizināšana

Ja Veidne:Math ir Veidne:Math matrica un Veidne:Math ir Veidne:Math matrica,

$𝐀=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1m}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n1}& A_{n2}& \cdots & A_{nm}\end{array}\right),𝐁=\left(\begin{array}{cccc}{B}_{11}& B_{12}& \cdots & B_{1p}\\ B_{21}& B_{22}& \cdots & B_{2p}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ B_{m1}& B_{m2}& \cdots & B_{mp}\end{array}\right)$

tad matricu reizinājums Veidne:Math (kas tiek apzīmēts bez kaut kādām reizinājuma zīmēm vai punktiem) ir Veidne:Math matrica

$𝐀𝐁=\left(\begin{array}{cccc}{\left(𝐀𝐁\right)}_{11}& {\left(𝐀𝐁\right)}_{12}& \cdots & {\left(𝐀𝐁\right)}_{1p}\\ {\left(𝐀𝐁\right)}_{21}& {\left(𝐀𝐁\right)}_{22}& \cdots & {\left(𝐀𝐁\right)}_{2p}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\left(𝐀𝐁\right)}_{n1}& {\left(𝐀𝐁\right)}_{n2}& \cdots & {\left(𝐀𝐁\right)}_{np}\end{array}\right)$

kur katrs Veidne:Math loceklis ir iegūts, reizinot Veidne:Math elementu ar Veidne:Math elementu, kur Veidne:Math un tiek saskaitīti rezultāti līdz Veidne:Math:

$(𝐀𝐁{)}_{ij}=\sum _{k=1}^m{A}_{ik}{B}_{kj}.$

Tas nozīmē, ka reizinājums Veidne:Math ir definēts, ja kolonnu skaits Veidne:Math matricā sakrīt ar rindu skaitu Veidne:Math matricā. Reizinājuma rezultāta matricā rindu skaits ir vienāds ar Veidne:Math rindu skaitu, savukārt kolonnu skaits — ar Veidne:Math kolonnu skaitu.

Ilustrācija

$\stackrel{4\times 2\text{ matrica}}{\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ \cdot & \cdot \\ a_{31}& a_{32}\\ \cdot & \cdot \end{array}\right]}\stackrel{2\times 3\text{ matrica}}{\left[\begin{array}{ccc}\cdot & b_{12}& b_{13}\\ \cdot & b_{22}& b_{23}\end{array}\right]}=\stackrel{4\times 3\text{ matrica}}{\left[\begin{array}{ccc}\cdot & x_{12}& x_{13}\\ \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & x_{32}& x_{33}\\ \cdot & \cdot & \cdot \end{array}\right]}$

Vērtības krustpunktos ir iegūstamas ar šādām darbībām:

$\begin{array}{cc}{x}_{12}& =a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}\\ x_{13}& =a_{11}{b}_{13}+a_{12}{b}_{23}\\ x_{32}& =a_{31}{b}_{12}+a_{32}{b}_{22}\\ x_{33}& =a_{31}{b}_{13}+a_{32}{b}_{23}\end{array}$

Matricu reizināšanas piemēri

Rindas matrica un kolonnas matrica

Ja

$𝐀=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right),𝐁=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),$

tad matricu reizināšanas rezultāts ir:

$𝐀𝐁=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=ax+by+cz,$

un

$𝐁𝐀=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}xa& xb& xc\\ ya& yb& yc\\ za& zb& zc\end{array}\right).$

Jāievēro, ka Veidne:Math un Veidne:Math ir divas dažādas matricas. Pirmā ir Veidne:Math matrica, bet otrā — Veidne:Math matrica.

Kvadrātiska matrica un kolonnas matrica

Ja

$𝐀=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ p& q& r\\ u& v& w\end{array}\right),𝐁=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),$

tad matricu reizināšanas rezultāts ir:

$𝐀𝐁=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ p& q& r\\ u& v& w\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ax+by+cz\\ px+qy+rz\\ ux+vy+wz\end{array}\right),$

savukārt Veidne:Math nav definēts.

Kvadrātiskas matricas

Ja

$𝐀=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ p& q& r\\ u& v& w\end{array}\right),𝐁=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \\ \lambda & \mu & \nu \\ \rho & \sigma & \tau \end{array}\right),$

tad matricu reizināšanas rezultāts ir:

$𝐀𝐁=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ p& q& r\\ u& v& w\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \\ \lambda & \mu & \nu \\ \rho & \sigma & \tau \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a\alpha +b\lambda +c\rho & a\beta +b\mu +c\sigma & a\gamma +b\nu +c\tau \\ p\alpha +q\lambda +r\rho & p\beta +q\mu +r\sigma & p\gamma +q\nu +r\tau \\ u\alpha +v\lambda +w\rho & u\beta +v\mu +w\sigma & u\gamma +v\nu +w\tau \end{array}\right),$

un

$𝐁𝐀=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \\ \lambda & \mu & \nu \\ \rho & \sigma & \tau \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ p& q& r\\ u& v& w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\alpha a+\beta p+\gamma u& \alpha b+\beta q+\gamma v& \alpha c+\beta r+\gamma w\\ \lambda a+\mu p+\nu u& \lambda b+\mu q+\nu v& \lambda c+\mu r+\nu w\\ \rho a+\sigma p+\tau u& \rho b+\sigma q+\tau v& \rho c+\sigma r+\tau w\end{array}\right).$

Rindas matrica, kvadrātiska matrica un kolonnas matrica

Ja

$𝐀=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right),𝐁=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \\ \lambda & \mu & \nu \\ \rho & \sigma & \tau \end{array}\right),𝐂=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),$

tad matricu reizināšanas rezultāts ir:

$\begin{array}{cc}𝐀𝐁𝐂& =\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right)\left[\left(\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \\ \lambda & \mu & \nu \\ \rho & \sigma & \tau \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\right]=\left[\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \\ \lambda & \mu & \nu \\ \rho & \sigma & \tau \end{array}\right)\right]\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha x+\beta y+\gamma z\\ \lambda x+\mu y+\nu z\\ \rho x+\sigma y+\tau z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a\alpha +b\lambda +c\rho & a\beta +b\mu +c\sigma & a\gamma +b\nu +c\tau \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\\ & =a\alpha x+b\lambda x+c\rho x+a\beta y+b\mu y+c\sigma y+a\gamma z+b\nu z+c\tau z,\end{array}$

Veidne:Math nav definēts. Jāievēro, ka Veidne:Math, kas ir viena no matricu reizināšanas īpašībām.

Taisnstūrveida matricas

Ja

$𝐀=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ x& y& z\end{array}\right),𝐁=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \rho \\ \beta & \sigma \\ \gamma & \tau \end{array}\right),$

tad matricu reizināšanas rezultāts ir:

$𝐀𝐁=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ x& y& z\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\alpha & \rho \\ \beta & \sigma \\ \gamma & \tau \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a\alpha +b\beta +c\gamma & a\rho +b\sigma +c\tau \\ x\alpha +y\beta +z\gamma & x\rho +y\sigma +z\tau \end{array}\right),$

un

$𝐁𝐀=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \rho \\ \beta & \sigma \\ \gamma & \tau \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ x& y& z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\alpha a+\rho x& \alpha b+\rho y& \alpha c+\rho z\\ \beta a+\sigma x& \beta b+\sigma y& \beta c+\sigma z\\ \gamma a+\tau x& \gamma b+\tau y& \gamma c+\tau z\end{array}\right).$

Komutativitāte

Piemērs, kas parāda, ka matricu reizināšana nav komutatīva.

$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right),$

$\begin{array}{cc}A\cdot B& =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),\\ B\cdot A& =\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right).\end{array}$

Ārējās saites

• MathWorld ieraksts Veidne:En ikona
• PlanetMath ieraksts Veidne:En ikona
• Kā reizināt matricas Veidne:En ikona
• Kā operēt ar matricām Veidne:En ikona