Naturālais logaritms

Naturālā logaritma funkcijas grafiks.

Naturālais logaritms ir logaritms, kura bāze ir skaitlis $e$, $e=2,7182818...$. Naturālo logaritmu no skaitļa $x$ apzīmē ar $\ln x$. Līdz ar to ${\log }_{e}x=\ln x$. Vienkārši runājot, $\ln x$ ir kāpinātājs, kurā kāpinot skaitli e, iegūtu skaitli x.
Ir pareizas šādas vienādības:

Visiem reāliem x

$\ln e^x=x.$

un visiem pozitīviem x

$e^{\ln x}=x.$

Definīcija, izmantojot integrāli

$\ln x$ var tikt definēts kā laukums zem funkcijas $y=\frac{1}{x}$ grafika robežās no 1 līdz $a$, tāpēc to var izteikt ar integrāli

$\ln a=\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x}dx.$

Īpašības

• ln $x$ ir definēts visiem x > 0
• ln $x$ ir augoša funkcija
• $\ln (xy)=\ln x+\ln y$
• Visiem $x>0$ $\ln x\le x-1$.
• ${\ln }^{\prime }x=\frac{1}{x}$

Robežas

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1.$
• Ja $a>0$, tad $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln x}{x^a}=0.$

Izvirzījums rindā

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots \mathrm{j}\mathrm{a}\left|x\right|\le 1$

izņemot $x=-1$.

Logaritmiskā atvasināšana

Dažreiz naturālie logaritmi tiek izmantoti lai atvasinātu kādu funkciju. Piemēram, $(x^x{)}^{\prime }=(e^{x\ln x}{)}^{\prime }=e^{x\ln x}\cdot (x\ln x{)}^{\prime }=x^x\cdot (1+\ln x)$.

Skatīt arī

• Logaritms