Vektoru lauks

Piemērs vektoru laukam- elektrisku lādiņu radītais elektriskais lauks

Vektoru lauks ir funkcija, kas kāda telpas apgabala katram punktam piekārto vektoru $\overrightarrow{a}$. Vektora lauka vektorfunkciju kādā telpas punktā $M$ pieraksta kā $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}(M)=\overrightarrow{a}(x,y,z)$. Vektoru lauka piemēri ir ātruma un paātrinājuma lauki tekošā šķidrumā vai gāzē, gravitācijas spēka lauks, elektrostatiskā lauka intensitātes lauks u.c.

Katra punkta $M$ atbilstošo vektoru $\overrightarrow{a}(M)$ var projicēt uz koordinātu asīm un vektoru lauku pierakstīt ar tā komponentēm: $\overrightarrow{a}=P(x,y,z)\overrightarrow{i}+Q(x,y,z)\overrightarrow{j}+R(x,y,z)\overrightarrow{k}$. Šādi vektorlauks tiek definēts ar trim skalārām funkcijām P, Q, R.

Vektoru lauka operācijas

Līnijas integrālis

Līnijas integrāli definē kā:

$\underset{\gamma }{\int }P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=\underset{\gamma }{\int }\overrightarrow{a}\cdot d\overrightarrow{r}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}a(\gamma (s))\cdot \frac{d\gamma }{ds}ds$, kur $\gamma (s)$ ir līnijas parametrizācija ar robežām $a$ un $b$. Fizikā var izmantot līnijas integrāļus, lai aprēķinātu spēka vektoru lauka padarīto darbu: $A=\underset{\gamma }{\int }\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}$.

Vektoru lauka plūsma

Vektoru lauka plūsma ir atkarīga no lauka intensitātes virsmas reģionā, virsmas orientācijas attiecībā pret lauka līnijām un virsmas lieluma.

Vektoru lauka plūsmu $\mathrm{\Phi }$ caur virsmu $S$ definē kā:

$\mathrm{\Phi }=\underset{S}{\iint }\overrightarrow{a}\cdot {\overrightarrow{n}}_{0}dS$, kur ${\overrightarrow{n}}_0$ ir vienības normāles vektors kādā virsmas punktā. Ja šis vienības normāles vektors tiek projicēts uz koordinātēm x, y, z, tad plūsmu var definēt kā pirmā veida virsmas integrāli: $\mathrm{\Phi }=\underset{S}{\iint }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS$, bet tā kā $\cos \alpha \cdot dS=dydz\cos \beta \cdot dS=dxdz\cos \gamma \cdot dS=dxdy$, tad tas ir arī otrā veida virsmas integrālis: $\mathrm{\Phi }=\underset{S}{\iint }(Pdydz+Qdxdz+Rdxdy)$.

Viena no ģeometriskajām interpretācijām vektoru lauka plūsmai ir tāda — tā raksturo caur virsmu $S$ krustojošo vektoru skaitu, kas ir pozitīvs, ja vairāk vektoru vērsti koordinātu pozitīvajā virzienā nekā negatīvajā virzienā. Ja vektoru lauks ir ātruma lauks, tad plūsma norāda izplūdušo tilpumu pozitīvo koordinātu virzienā. Piemēram, Venturi caurulē dažādos caurules posmos ir dažāds šķērsgriezums un šķidruma ātrums, bet konstanta plūsma.

Diverģence

Ilustrācija plūsmai caur noslēgtu virsmu. Reģions $\overrightarrow{E}$ ir kā elektriskā lauka avots, tā radītā potenciālā lauka vektori plūst caur noslēgto virsmu, bet tā kā pati virsma nesatur nevienu avotu vai noplūdi, tad cik vektori ieplūst virsmā, tik arī aizplūst un diverģence ir $0$.

Diverģenci vektorlaukam definē kā plūsmu noslēgtai virsmai:

$\mathrm{\Phi }=\text{∯}\overrightarrow{a}\cdot {\overrightarrow{n}}_{0}dS$, no šīs definīcijas var iegūt diverģenci vienā punktā: $div(\overrightarrow{a}(M))=\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{a}(M)=\frac{\delta P}{\delta x}(M)+\frac{\delta Q}{\delta y}(M)+\frac{\delta R}{\delta z}(M)$, ko var vispārināt arī vairāk dimensijām. Diverģences rezultātā tiek iegūts skalārs lielums. Interpretācija diverģencei ir tāda, ka tas ir mērs cik ļoti mazs tilpums ap kādu punktu $M$ ir kā avots vai noplūde.

Vektora lauka cirkulācija

Par vektoru lauka cirkulāciju pa noslēgtu kontūru $\gamma$ sauc līnijintegrāli:

$I=\underset{\gamma }{\oint }\overrightarrow{a}\cdot d\overrightarrow{r}=\underset{\gamma }{\oint }Pdx+Qdy+Rdz$. Tā pat kā līnijas integrālim, ja vektoru lauks ir spēka lauks, tad līnijas integrāli var interpretēt kā padarīto darbu: $A=\underset{\gamma }{\int }\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}$. Taču, pastāv arī hidromehāniskā interpretācija.

Pieņemam, ka šķidrums rotē ap Oz asi ar leņķisko ātrumu $\overrightarrow{\omega }=0\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}+\omega \overrightarrow{k}$, tad šī radītais ātruma lauks būs $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}$, kur $\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ un šis ātruma lauks ir $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ 0& 0& \omega \\ x& y& z\end{array}\right|=-\omega y\overrightarrow{i}+\omega x\overrightarrow{j}+0\overrightarrow{k}$

Ja izvēlas apli ar centru uz Oz ass kā kontūru, tad pēc cirkulācijas aprēķināšanas iegūst $I=\underset{\gamma }{\oint }\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{r}=2\pi \omega R^2$. Dalot ar riņķa laukumu, iegūst cirkulācijas blīvumu $\frac{1}{\pi R^2}\underset{\gamma }{\oint }\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{r}$. Principā, vektora lauka rotoru kādā punktā var interpretēt pa komponentēm kā cirkulācijas blīvumu, kad ņem kontūru ar laukumu, kas tiecas uz nulli un komponente ir orientēta laukuma normāles virzienā.

Rotors trīs dimensijās

Rotors ir operācija, kas kā ievadi ņem vektoru un kā izvadi dod vektoru. Galvenokārt rotors ir definēts tikai trīs dimensijās un to definē kā:

$rot(\overrightarrow{a})=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{a}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ \frac{\delta }{\delta x}& \frac{\delta }{\delta y}& \frac{\delta }{\delta z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$, kur vektoriālo reizinājumu var aprēķināt ar determinanta palīdzību. Interpretācija rotoram ir kāda punkta impulsa momenta blīvums.

Vektorlīnijas

Vektorlīnijas parādās arī fāžu telpās- attēlā parādītas harmoniskas svārstības. Katrs punkts attēlā ir iespējams stāvoklis un vektorlīnijas norāda turpmāko trajektoriju, ja ir doti sākumnosacījumi.

Pieņemsim, ka vektoru lauks laikā nemainās, tādā gadījumā līniju, kuras katrā punktā pieskares vektora virziens sakrīt ar vektora lauka virzienu šajā punktā, sauc par vektorlīniju. Ja līniju var parametriski pierakstīt kā $\overrightarrow{a}=x(s)\overrightarrow{i}+y(s)\overrightarrow{j}+z(s)\overrightarrow{k}$, tad tās pieskares vektors ir $\overrightarrow{T}=\frac{dx}{ds}\overrightarrow{i}+\frac{dy}{ds}\overrightarrow{j}+\frac{dz}{ds}\overrightarrow{k}$. No šo vektoru paralelitātes iziet, ka to komponenšu garumi atšķiras par konstantes reizinājumu un iegūst izteiksmes: $\frac{dx}{ds}\cdot \frac{1}{P}=\frac{dy}{ds}\cdot \frac{1}{Q}=\frac{dz}{ds}\cdot \frac{1}{R}$ jeb $\frac{Q}{P}=\frac{dy}{dx},\frac{R}{P}=\frac{dz}{dx}$. Atrisinot šos diferenciālvienādojumus, iegūst vienādojumus ar diviem parametriem, kuri norāda trajektoriju saimes. Sākuma nosacījumi nosaka, pa kuru integrāllīniju pārvietotos, piemēram, daļiņa plūsmā.