Binomiālais sadalījums

Veidne:Varbūtību sadalījuma infokaste Binomiālais sadalījums varbūtību teorijā ir varbūtību sadalījums, kurš uzdod jā/nē jautājumus un skaita labvēlīgo gadījumu skaitu un nelabvēlīgo. Tas ir atkarīgs no parametriem p un n, kur p - labvēlīga iznākuma varbūtība; n - gadījumu skaits; kā arī lielums q - nelabvēlīgā iznākuma varbūtība (q = 1 - p). Vēl bez jā/nē iznākumu dabas, katram mēģinājumam jābūt neatkarīgam no iepriekšējiem mēģinājumiem un varbūtībām jābūt nemainīgām.

Bernulli formula

Ar Bernulli formulu iespējams noteikt varbūtību tam, ka labvēlīgs notikums notiks m reizes. Formulu pieraksta šādi:

$P_n(k)=C_n^k\cdot p^k\cdot q^{n-k}$, kur

$P_n(k)$ - varbūtība labvēlīgam iznākumam notikt $k$ reizes no visām $n$ reizēm; $C_n^k$ - kombinācijas, kā izvēlēties $k$ elementus no $n$; $p^k$ - labvēlīgā varbūtība celta veiksmīgo reižu pakāpē; $q^{n-k}$ - nelabvēlīgā varbūtība ($q=1-p$) celta neveiksmīgo reižu pakāpē.

Visu varbūtību summa būs 1: $\sum _{i=0}^n{p}_i=1$.

Piemērs

Varbūtība, ka diena būs apmākusies, ir 0,45. Kāda ir varbūtība, ka nedēļā būs 3 apmākušās dienas?

Izmantojot Bernulli formulu:

Animācija visu n = 4 situāciju kombinācijām: $C_4^0=1;C_4^1=4;C_4^2=6;C_4^3=4;C_4^4=1$

$P_7(3)=35\cdot 0,45^3\cdot 0,55^4=0,292...$

Īpašības

Binomiālā sadalījuma sagaidāmā vērtība ir $E[X]=np$. Šo iegūst, jo gadījuma lielums var ieņemt vērtības {0; 1}, atkarībā no tā, vai gadījums ir labvēlīgs vai nav. No sagaidāmās vērtības linearitātes īpašības un fakta, ka varbūtība p ir nemainīga: $E[X]=E[X1+...+Xn]=E[X1]+...+E[Xn]=p+...+p=np$

Binomiālā sadalījuma dispersija ir: $Var[X]=npq=np(1-p)$

Skatīt arī

• Kombinatorika
• Puasona sadalījums