Kvadrātfunkcija

Kvadrātfunkcija ir funkcija, kuru apraksta vienādojums $y=a{x}^2+bx+c$, kur a,b,c ∈ R un a≠0. Funkcijas grafiks ir parabola.

Šīs funkcijas definīcijas un vērtību apgabals ir visi reālie skaitļi.

Saknes un diskriminants

Funkcijas saknes jeb nulles nosaka funkcijas x vērtības krustpunktā ar abscisu. Sakņu skaits var būt dažāds, un tas ir atkarīgs no diskriminanta vērtības.

Diskriminantu var aprēķināt pēc formulas : $D=b^2-4ac$

• Ja $D>0$ , tad vienādojumam ir 2 saknes,
• Ja $D=0$ , vienādojumam ir viena sakne,
• bet, ja $D<0$ , sakņu nav.

Saknes var aprēķināt pēc formulas  :Veidne:Indent$x_{\text{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

Vai noteikt pēc Vjeta teorēmas  :Veidne:Indent$x_1*x_2=\frac{c}{a}$Veidne:Indent$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

Krustpunkts ar y asi

Lai aprēķinātu koordinātas krustpunktam ar y asi funkcijas vienādojumā x vietā ievieto 0.

Piemēram:

$y=x^2+3x+1$

$y=0^2+3*0+1$

$y=0+0+1$

$y=1$

Funkcijas $y=x^2+3x+1$ grafiks krusto y asi punktā (0;1)

Krustpunktam ar y asi simetriska punkta x koordinātas, kas pieder pie grafika, var aprēķināt pēc formulas $x=x_y+2x_v$

Parabolas zaru vērsums

Parabolas zaru vērsumu nosaka koeficients pie kvadrātlocekļa.

Ja $a>0$, zari ir vērsti uz augšu (piemēram, $y=x^2$), bet ja $a<0$, zari ir vērsti uz leju (piemēram, $y=-x^2$).

Parabolas virsotnes punkts un maksimālā, minimālā vērtība

Jebkurai parabolai ir virsotne, kuru visbiežāk apzīmē ar (x_v;y_v) vai (x_o;y_o).

Virsotnes x koordinātas aprēķina pēc formulas:Veidne:Indent$x_{\text{v}}=-\frac{b}{2a}$

Bet virsotnes y koordinātas iegūst ievietojot x virsotnes koordinātas funkcijas vienādojumā:Veidne:Indent$y_{\text{v}}=a{x}_v^2+b{x}_v+c$

Virsotnes y koordināta norāda uz funkcijas maksimālo vai minimālo vērtību.

Ja zari ir vērsti uz augšu, tad virsotnes y koordināta norāda uz minimālo funkcijas vērtību un maksimālā vērtība nav nosakāma, bet ja zari ir vērsti uz leju, tad virsotnes y koordināta norāda uz maksimālo funkcijas vērtību un minimālā vērtība nav nosakāma.

Paritāte 

$y=x^2+3x-6$ un$y=x^2-3x-6$ grafiki

Kvadrātfunkcija nevar būt nepāra funkcija.

Tā ir vai nu pāra vai ne pāra, ne nepāra.

 

Paritātes noteikšana pēc funkcijas vienādojuma

Funkcija ir pāra, ja:Veidne:Indent$f(x)=f(-x)$

 

Piemēram, pārbaudīsim vai funkcija $y=x^2-6$ ir pāra funkcija:

Veidne:Indent$x^2-6=(-x{)}^2-6$Veidne:Indent$x^2-6=x^2-6$

 

Abas puses sakrīt, tātad funkcija $y=x^2-6$ ir pāra funkcija.

Tagad pārbaudīsim vai funkcija $y=x^2+3x-6$ ir pāra funkcija:

Veidne:Indent$f(x)=x^2+3x-6$ Veidne:Indent$f(-x)=(-x{)}^2+3*(-x)-6$ Veidne:Indent$x^2+3x-6\ne x^2-3x-6$

 

Abas puses nesakrīt, tātad funkcija $y=x^2+3x-6$ nav pāra funkcija, jeb ir ne pāra, ne nepāra funkcija.

Paritātes noteikšana pēc funkcijas grafika

Funkcija ir pāra, ja tā ir simetriska pret y asi jeb $x_v=0$, Veidne:Multiple image

Vienādzīmju intervāli

Ja parabolas zari ir vērsti uz augšu un $D\ge 0$, tad $y>0,ja$ $x\in (-\mathrm{\infty };x_1)\cup (x_2;+\mathrm{\infty })$Veidne:Indent un $y<0,ja$ $x\in (x_1;x_2)$

Ja parabolas zari ir vērsti uz leju un $D\ge 0$, tad $y>0,ja$ $x\in (x_1;x_2)$Veidne:Indentun $y<0,ja$ $x\in (-\mathrm{\infty };x_1)\cup (x_2;+\mathrm{\infty })$

Vienādzīmju intervāli funkcijām bez saknēm

Ja funkcijas grafiks atrodas tikai virs x ass, tad funkcija visā D.A. ir pozitīva.

Bet ja funkcijas grafiks atrodas tikai zem y ass, tad funkcija ir visā D.A. negatīva.

Piemēram, funkcijai $y=x^2+4x+5$ sakņu nav un parabolas zari ir vērsti uz augšu, tas nozīmē, ka tai ir tikai viens vienādzīmju intervāls $y>0$, ja $x\in (+\mathrm{\infty };-\mathrm{\infty })$

Monotonitāte

Funkcija ir augoša, ja palielinoties x vērtībām, palielinās y vērtības.

Funkcija ir dilstoša, ja palielinoties x vērtībām, samazinās y vērtības.

Ja parabolas zari ir vērsti uz augšu, tad funkcija ir dilstoša intervālā $x\in (-\mathrm{\infty };x_v)$, bet augoša $x\in (x_v;+\mathrm{\infty })$.

Ja parabolas zari ir vērsti uz leju, tad funkcija ir dilstoša intervālā $x\in (x_v;+\mathrm{\infty })$, bet augoša $x\in (-\mathrm{\infty };x_v)$.

Pārbīdes

Katrs koeficients veic kādu noteiktu pārbīdi.

Koeficients	Kādu pārbīdi tas veic	Attēls
a	Mainot a koeficientu, mainās zaru vērsums un platums. Zari ir vērsti uz augšu, ja $a>0$, bet uz leju, ja $a<0$. Jo lielāks a koeficients, jo tuvāk parabolas zari atradīsies pie funkcijas simetrijas ass.
b	B koeficients nosaka pārbīdi pa x asi. Parabola būs pa kreisi no y ass, ja $b>0$, parabolas virsotne atradīsies uz x ass, ja $b=0$, parabola būs pa labi no y ass, ja $b<0$.
c	C koeficients nosaka pārbīdi pa y asi un nosaka y koordinātas krustpunktā ar y asi. Ja $c>0$, tad parabola tiks virzīta uz augšu pa y asi, ja $c<0$, tad parabola tiks virzīta uz leju pa x asi, bet ja $c=0$ parabola krustos y asi punktā (0;0).

Skatīt arī

• Kvadrātvienādojums
• Diskriminants
• Lineāra funkcija
• Funkcija

Ārējās saites

• Teorija par kvadrātfunkciju
• DZM materiāls par kvadrātfunckiju
• materiāli par kvadrātfunkciju atbilstoši 9. klases standartam
• Funkciju grafiku kalkulators (angļu valodā)