Ptolemaja teorēma

Ptolemaja teorēma ir sakarība starp ievilkta četrstūra garumiem.$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD$

Ptolemaja teorēma ir sakarība ievilktā četrstūrī starp tā malām un diagonālēm. Ptolemajs to izmantoja, lai aprēķinātu hordu garumus dažādiem leņķiem no kā var iegūt, piemēram, sinusa vērtību tabulu. Ja ievilktā četrstūra virsotnes ir secīgi A, B, C, D, tad teorēma apgalvo, ka $AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD$.

Ar Ptolemaja teorēmu var pierādīt dažādas citas teorēmas, piemēram, Pitagora teorēmu, kosinusu teorēmu, sinusa leņķu summu, sinusa leņķu starpību, kosinusa leņķu summu.

Pierādījums ar līdzīgiem trijstūriem

1) Tiek atrasti vienādie leņķi ($\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }BDC$un $\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }ADB$) kā arī definēti leņķi ($\mathrm{\angle }CBD=\mathrm{\angle }ABK$), no kā izriet $\mathrm{\angle }CBK=\mathrm{\angle }ABD$. 2) Tiek atrasti līdzīgie trijstūri $\mathrm{△}ABK\sim \mathrm{△}BCD$ un $\mathrm{△}ABD\sim \mathrm{△}CBK$.3) Tiek iegūtas līdzīgo trijstūru malu attiecības $\frac{AK}{AB}=\frac{CD}{BD}$ un $\frac{AD}{BD}=\frac{CK}{BC}$ un tās summējot iegūst meklēto $BD\cdot AC=CD\cdot AB+AD\cdot BC$.

Ievilktam četrstūrim ABCD ievilktie leņķi $\mathrm{\angle }BAC$ un $\mathrm{\angle }BDC$ attiecas uz vienu loku $\stackrel{⌢}{BC}$, tādēļ tie ir vienādi. Pēc tās pašas argumentācijas ievilktie leņķi $\mathrm{\angle }ACB$ un $\mathrm{\angle }ADB$ attiecas uz loku $\stackrel{⌢}{AB}$, tādēļ tie ir vienādi. Var ieviest tādu punktu $K$ uz līnijas $AC$, ka izpildās $\mathrm{\angle }CBD=\mathrm{\angle }ABK$. No tā var secināt, ka $\mathrm{\angle }ABK+\mathrm{\angle }CBK=\mathrm{\angle }ABC$ un $\mathrm{\angle }ABD+\mathrm{\angle }CBD=\mathrm{\angle }ABC$, tad pielīdzinot un atceroties, ka $\mathrm{\angle }ABK=\mathrm{\angle }CBD$ iegūst $\mathrm{\angle }CBK=\mathrm{\angle }ABD$.

Tagad trijstūriem $\mathrm{△}ABK$ un $\mathrm{△}BCD$ ir divi vienādi leņķi ($\mathrm{\angle }BAK=\mathrm{\angle }BDC$ un $\mathrm{\angle }ABK=\mathrm{\angle }CBD$), tādēļ tie ir līdzīgi trijstūri $\mathrm{△}ABK\sim \mathrm{△}BCD$. Pēc tās pašas argumentācijas trijstūriem $\mathrm{△}ABD$ un $\mathrm{△}CBK$ ir divi kopīgi leņķi ($\mathrm{\angle }ABD=\mathrm{\angle }CBK$ un $\mathrm{\angle }ADB=\mathrm{\angle }BCK$), tādēļ tie ir līdzīgi trijstūri $\mathrm{△}ABD\sim \mathrm{△}CBK$.

Līdzīgi trijstūri saglabā malu attiecības, tādēļ no līdzīgiem trijstūriem $\mathrm{△}ABK\sim \mathrm{△}BCD$ iegūst $\frac{AK}{AB}=\frac{CD}{BD}$ un no līdzīgiem trijstūriem $\mathrm{△}ABD\sim \mathrm{△}CBK$ iegūst $\frac{AD}{BD}=\frac{CK}{BC}$. Katrā izteiksmē pareiznot ar saucējiem iegūst: $AK\cdot BD=CD\cdot AB$ un $AD\cdot BC=CK\cdot BD$. Summējot abas izteiksmes iegūst: $AK\cdot BD+CK\cdot BD=CD\cdot AB+AD\cdot BC$, iznesot kopējo reizinātāju: $BD(AK+CK)=CD\cdot AB+AD\cdot BC$, savukārt $AK+CK=AC$, tādēļ ievietojot iegūst $BD\cdot AC=CD\cdot AB+AD\cdot BC$ Q.E.D.

Šis pierādījums izpildās tikai, ja četrstūra malas viena otru nešķērso, taču teorēma ir spēkā arī šķērsojošu malu gadījumā.