Kvadrātnevienādība

Veidne:Izolēts raksts Veidne:Pārvietot uz Wikibooks Nevienādības, kuras vispārīgais veids ir $a{x}^2+bx+c>0$ (<0, ≤0, ≥0), kur a, b,c ∈ $R$ un a≠0, bet $x$ ir mainīgais, sauc par kvadrātnevienādību.

Kvadrātnevienādību iedalījums

Kvadrātnevienādības iedala tāpat kā lineārās nevienādības.

Stingrās kvadrātnevienādības

Par stingrām kvadrātnevienādībām sauc kvadrātnevienādības, kuras satur zīmi $<$ vai $>$ .

Nestingrās kvadrātnevienādības

Par nestingrām kvadrātnevienādībām, sauc kvadrātnevienādības, kuras satur zīmi $\le$ vai $\ge$.

Pilnās kvadrātnevienādības

Par pilnām kvadrātnevienādībām sauc kvadrātnevienādības, kur visi trīs koeficienti $a$, $b$ un $c$ ir no nulles atšķirīgi skaitļi.

Nepilnās kvadrātnevienādības

Par nepilnām kvadrātnevienādībām sauc kvadrātnevienādības, kurās kaut viens no koeficientiem $b$ vai $c$ ir vienāds ar nulli.

Kvadrātnevienādības risinājums

Attēls:Tuksipunkti.jpg

Tukši punkti stingrām nevienādībām

Attēls:Pilnipunkti.jpg

Pildīti punkti nestingrām nevienādībām

Atrisināt nevienādību nozīmē atrast visus tās atrisinājumus (norādīt atrisinājuma intervālu) un pierādīt, ka nevienādībai citu atrisinājumu nav.

Nosaka parabolas krustpunktus ar $x$ asi (atrod funkcijas nulles), atrisinot vienādojumu $a{x}^2+bx+c=0$.

Izmanto kvadrātvienādojuma formulas:

$D=b^2-4ac$

$x_{\text{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

• Ja $D>0$, tad vienādojumam ir divas dažādas saknes, parabola krusto $o_x$ asi divos punktos.
• Ja $D=0$, tad vienādojumam ir divas vienādas saknes, parabolas virsotne atrodas uz $o_x$ ass.
• Ja $D<0$, tad vienādojumam nav reālu sakņu, parabola $o_x$ asi nekrusto.

Kvadrātvienādojuma saknes var aprēķināt arī izmantojot Vjeta teorēmu.

$x_1*x_2=\frac{c}{a}$

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

Ņemot vērā sakņu skaitu un koeficienta $a$ zīmi, skicē parabolas grafiku.

• Ja $a>0$, tad zari vērsti uz augšu.
• Ja $a<0$, tad zari vērsti uz leju.

Izvēlās tukšus vai pildītus punktus, atkarībā no nevienādības zīmes.

• Tukšs, ja kvadrātnevienādība satur zīmes $<$ vai $>$.
• Pildīts, ja kvadrātnevienādība satur zīmes $\le$ vai $\ge$.

Pēc parabolas grafika nosaka kvadrātnevienādības atrisinājumu.

Paskaidrojums	Risinājums	Attēls
Nevienādību uzraksta tā, lai kreisajā pusē būtu kvadrāttrinoms $a{x}^2+bx+c$, bet labajā — nulle.	$x^2-3x<4$ $x^2-3x-4<0$	Attēls:Assbezneka.jpg
Lai noskaidrotu, kuros punktos parabola krusto $x$ asi, kvadrāttrinomu $a{x}^2+bx+c$ pielīdzina nullei un atrod atbilstošās kvadrātvienādojuma saknes.	$x^2-3x-4=0$ $D=b^2-4ac=(-3{)}^2-4*1*(-4)=9+16=25$ $x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{3+5}{2}=4$ $x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{3-5}{2}=-1$	Attēls:Assarkautko.jpg
Uzskicē parabolu, ņemot vērā tās zaru vērsumu un krustpunktus ar $x$ asi. Krustpunkti pieder atrisinājuma intervālam, ja jārisina nestingrā nevienādība ($\le$ vai $\ge$), bet nepieder, ja jārisina nestingrā nevienādība ($>$ vai $<$)	$a=1$ $1>0$, tātad zari vērsti uz augšu.	Attēls:Assunparabola.jpg
Uzmanīgi izlasa doto nevienādību un analizē parabolas novietojumu attiecībā pret $x$ asi: Ja $a{x}^2+bx+c<0$ (mazāks par nulli) un $a>0$, tad atrisinājumu veido tās $x$ vērtības, kurām atbilstošie parabolas punkti atrodas zem $x$ ass. Ja $a{x}^2+bx+c>0$, tad atrisinājumu veido tās $x$ vērtības, kurām atbilstošie parabolas punkti atrodas virs $x$ ass.	$x^2-3x-4<0$ , tātad atrisinājumu veido x vērtības, kurām atbilstošie punkti atrodas zem $x$ ass.	Attēls:Assparabolaiesvitrots.jpg
Pieraksta atbildi.	$x$∈(-1;4)	Attēls:Assparabolaiesvitrots.jpg

• 
  Parabola nekrusto $x$ asi.
• 
  Parabola nekrusto $x$ asi.
• 
  Parabolas virsotne atrodas uz $x$ ass.

Skatīt arī

• Parabola
• Nevienādība
• Vienādojums
• Kvadrātvienādojums

Ārējās saites

• Nevienādību un nevienādību sistēmu risināšana
• Kvadrātnevienādības